Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi \[50{\rm{\;m}}.\] Nếu chiều dài tăng thêm \[5{\rm{\;m}}\] và chiều rộng giảm đi \[6{\rm{\;m}}\] thì diện tích của mảnh vườn giảm đi \[50{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\] Giả sử \[x,y\] lần lượt là chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn. Từ dữ kiện mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi \[50{\rm{\;m}},\] khi biểu diễn theo hai ẩn \[x,y,\] ta được phương trình nào trong các phương trình sau đây?

Chọn C

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}mx + 2my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {m + 1} \right)y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2), ta có: \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y.\]

Thay \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y\] vào phương trình (1), ta được:

\[m\left[ {2 - \left( {m + 1} \right)y} \right] + 2my = m + 1\]

\[2m - \left( {{m^2} + m} \right)y + 2my = m + 1\]

\[\left( { - {m^2} + m} \right)y =  - m + 1\]

\[ - m\left( {m - 1} \right)y =  - \left( {m - 1} \right)\]

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \[m \ne 0\] và \[m \ne 1.\]

Khi đó ta có \[y = \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{{ - m\left( {m - 1} \right)}} = \frac{1}{m}.\]

Suy ra \[x = 2 - \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{1}{m} = \frac{{2m - m - 1}}{m} = \frac{{m - 1}}{m}.\]

Vì vậy \[A = x - y = \frac{{m - 1}}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{2}{m}.\]

Với \(m \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \[A\] nhận giá trị nguyên thì \[\frac{2}{m}\] nhận giá trị nguyên.

Suy ra \[m \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.\]

So với điều kiện \[m \ne 0\] và \[m \ne 1,\] ta nhận \[m \in \left\{ { - 2; - 1;2} \right\}.\]

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án C

Chọn D

Gọi \[x,y\] lần lượt là số dãy và số ghế trong một dãy \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\]

Vì phòng học có tất cả \[200\] ghế nên ta có \[xy = 200\] (1)

Nếu kê thêm \[2\] dãy và mỗi dãy tăng thêm \[1\] ghế thì kê được \[242\] ghế nên ta có phương trình

\[\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right) = 242\] hay \[xy + x + 2y + 2 = 242\]

Tức là, \[xy + x + 2y = 240\] (2)

Thế \[xy = 200\] vào phương trình (2), ta được \[200 + x + 2y = 240\] hay \[x + 2y = 40\] (3)

Từ (1), (3), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}xy = 200\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + 2y = 40\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (3), ta có \[x = 40 - 2y\] (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được \[\left( {40 - 2y} \right)y = 200\] hay \[2{y^2} - 40y + 200 = 0.\]

Giải phương trình:

\[2{y^2} - 40y + 200 = 0\]

\[{y^2} - 20y + 100 = 0.\]

\[{\left( {y - 10} \right)^2} = 0.\]

\[y - 10 = 0.\]

\[y = 10\] (thỏa mãn điều kiện)

Với \[y = 10\], ta có \[x = 40 - 2y = 40 - 2.10 = 20\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phòng học ban đầu có \[20\] dãy ghế, mỗi dãy có \[10\] ghế.