Xét biểu thức: \[B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\]

a). Rút gọn \(B\);

b). Tìm giá trị của \(B\) nếu \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]

c). Với giá trị nào của a thì \[{\rm{ }}\sqrt B  > B\].

a) (ĐK\[{\rm{ a}} \ge 0\])

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a \left( {{{\sqrt a }^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a  + 1)}}{{\sqrt a }} + 1 = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - (2\sqrt a  + 1) + 1\\\,\,\,\,\, = a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 1 + 1 = a - \sqrt a \end{array}\]

b) Với \[{\rm{ a}} \ge 1\] hay \[\sqrt a  \ge 1\] nên \[\sqrt a  - 1 \ge 0\] và \[a \ge 1\], suy ra \[a \ge 0\]

Suy ra \[A = a - \sqrt a  = \sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) \ge 0\]

Khi đó \[A \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| = A\]

Vậy \[\left| A \right| = A\].

c) Tìm \(a\) để \(A = 2\)

\[\begin{array}{l}a - \sqrt a  = 2\\a - \sqrt a  - 2 = 0\\a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 2 = 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a  + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt a  + 1 = 0\] hoặc \[\sqrt a  - 2 = 0\]

\[\sqrt a  =  - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt a  = 2\].

\[a = 4\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[a = 4\] thì \[{\rm{A = 2}}\].

d). \[A = a - \sqrt a  = a - 2\sqrt a \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Vì \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a.

Nên \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge  - \frac{1}{4}\] với mọi a.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \[ - \frac{1}{4}\] khi và chỉ khi \[\sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\]

a) \[\sqrt {96.125}  = \sqrt {{2^5}{{.3.5}^3}}  = \sqrt {{2^4}{{.5}^2}.30}  = 20\sqrt {30} \].

b) \[\sqrt {{a^4}{b^5}}  = {a^2}{b^2}\sqrt b \].

c) \[\sqrt {{a^6}{b^{11}}}  = \left| {{a^3}.{b^5}} \right|\sqrt b \].

d) Với \(a > 1:\) \[\sqrt {{a^3}{{\left( {1 - a} \right)}^4}}  = \sqrt {{a^2}.a.{{\left[ {{{\left( {1 - a} \right)}^2}} \right]}^2}}  = a{\left( {1 - a} \right)^2}\sqrt a \].