Xét biểu thức: \[A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\].

a) Rút gọn \(A\); b) Biết \[{\rm{ a}} \ge 1\], hãy so sánh \(A\) và \[\left| A \right|\];

c)Tìm \(a\) để \(A = 2\); d)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) (ĐK\[{\rm{ a}} \ge 0\])

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a \left( {{{\sqrt a }^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a + 1)}}{{\sqrt a }} + 1 = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - (2\sqrt a + 1) + 1\\\,\,\,\,\, = a + \sqrt a - 2\sqrt a - 1 + 1 = a - \sqrt a \end{array}\]

b) Với \[{\rm{ a}} \ge 1\] hay \[\sqrt a \ge 1\] nên \[\sqrt a - 1 \ge 0\] và \[a \ge 1\], suy ra \[a \ge 0\]

Suy ra \[A = a - \sqrt a = \sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ge 0\]

Khi đó \[A \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| = A\]

Vậy \[\left| A \right| = A\].

c) Tìm \(a\) để \(A = 2\)

\[\begin{array}{l}a - \sqrt a = 2\\a - \sqrt a - 2 = 0\\a + \sqrt a - 2\sqrt a - 2 = 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt a + 1 = 0\] hoặc \[\sqrt a - 2 = 0\]

\[\sqrt a = - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt a = 2\].

\[a = 4\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[a = 4\] thì \[{\rm{A = 2}}\].

d). \[A = a - \sqrt a = a - 2\sqrt a \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Vì \[{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a.

Nên \[{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge - \frac{1}{4}\] với mọi a.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \[ - \frac{1}{4}\] khi và chỉ khi \[\sqrt a - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xét biểu thức: \[B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\]

a). Rút gọn \(B\);

b). Tìm giá trị của \(B\) nếu \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]

c). Với giá trị nào của a thì \[{\rm{ }}\sqrt B > B\].

Xem đáp án

Lời giải

a). Điều kiện \[ - 1 < a < 1\]

\[\begin{array}{l}B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - a} .\sqrt {a + 1} }}{{\sqrt {a + 1} }}} \right):\left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}} \right) = \frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {a + 1} }}.\frac{{\sqrt {a + 1} .\sqrt {1 - a} }}{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }} = \sqrt {1 - a} \end{array}\]

b). Với \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]Khi đó:

\[B = \sqrt {1 - a} = \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} = \sqrt {\frac{{2.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}}{{4 - 3}}} = \sqrt 3 + 1\]

c). Với \[ - 1 < a < 1\], ta có:\[{\rm{ }}\sqrt B > B\] hay \[\sqrt B \left( {1 - {\rm{ }}\sqrt B } \right) > 0\]

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B > 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B > 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}B > 0\\{\rm{ }}\sqrt B < 1\end{array} \right.\], suy ra \[0 < B < 1\].

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B < 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B < 0\end{array} \right.\] (vô nghiệm).

Khi đó \[0 < \sqrt {1 - a} < 1\] hay \[0 < 1 - a < 1\] nên \[0 < a < 1.\]

Kết hớp với điều kiện \[ - 1 < a < 1\] ta được \[0 < a < 1\]

Vậy \[0 < a < 1\] thì\[{\rm{ }}\sqrt B > B\].

Câu 2

Rút gọn biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }}\); b) \(B = \frac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6 - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6 \).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }} = \frac{{7 - 4\sqrt 3 + 7 + 4\sqrt 3 }}{{49 - 48}} = 14\)

b) \[B = \frac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6 - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6 = \frac{{15\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{6 - 1}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{{6 - 4}} - \frac{{12\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{9 - 6}} - \sqrt 6 \].

\[ = 3\left( {\sqrt 6 - 1} \right) + 2\left( {\sqrt 6 + 2} \right) - 4\left( {3 + \sqrt 6 } \right) - \sqrt 6 = - 11\]

Câu 3