Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn rồi thực hiện phép tính:\[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} \].

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }} = \frac{{7 - 4\sqrt 3  + 7 + 4\sqrt 3 }}{{49 - 48}} = 14\)

b) \[B = \frac{{15}}{{\sqrt 6  + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6  - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6  = \frac{{15\left( {\sqrt 6  - 1} \right)}}{{6 - 1}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6  + 2} \right)}}{{6 - 4}} - \frac{{12\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{9 - 6}} - \sqrt 6 \].

\[ = 3\left( {\sqrt 6  - 1} \right) + 2\left( {\sqrt 6  + 2} \right) - 4\left( {3 + \sqrt 6 } \right) - \sqrt 6  =  - 11\]

a). Điều kiện \[ - 1 < a < 1\]

\[\begin{array}{l}B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - a} .\sqrt {a + 1} }}{{\sqrt {a + 1} }}} \right):\left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}} \right) = \frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {a + 1} }}.\frac{{\sqrt {a + 1} .\sqrt {1 - a} }}{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }} = \sqrt {1 - a} \end{array}\]

b). Với \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]Khi đó:

\[B = \sqrt {1 - a}  = \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}}  = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3  - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}}  = \sqrt {\frac{{2.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}}  = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{{4 - 3}}}  = \sqrt 3  + 1\]

c). Với \[ - 1 < a < 1\], ta có:\[{\rm{ }}\sqrt B  > B\] hay \[\sqrt B \left( {1 - {\rm{ }}\sqrt B } \right) > 0\]

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B  > 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B  > 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}B > 0\\{\rm{ }}\sqrt B  < 1\end{array} \right.\], suy ra \[0 < B < 1\].

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B  < 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B  < 0\end{array} \right.\] (vô nghiệm).

Khi đó \[0 < \sqrt {1 - a}  < 1\] hay \[0 < 1 - a < 1\] nên \[0 < a < 1.\]

Kết hớp với điều kiện \[ - 1 < a < 1\] ta được \[0 < a < 1\]

Vậy \[0 < a < 1\] thì\[{\rm{ }}\sqrt B  > B\].