Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 9}} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).
a) Rút gọn \(P\).                                                     b) Chứng minh rằng \({\rm{P}} > \frac{1}{3}\).

a) Điều kiện : \(x \ge 1\). Khi đó ta có \(P = \frac{{\sqrt {x - 1}  - \sqrt x  + \sqrt {x - 1}  + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x - 1}  - \sqrt x } \right)}} + \frac{{x\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{ - 1}} + x = x - 2\sqrt {x - 1} \)

Ta có \(P = x - 2\sqrt {x - 1}  = \left( {x - 1} \right) - 2\sqrt {x - 1}  + 1 = {(\sqrt {x - 1}  - 1)^2} \ge 0\)

a) Điều kiện : \(x > 0\). Khi đó ta có \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}\)

Ta có \(:P = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x  + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}\).
Xét biểu thức ở mẫu \(\sqrt {\rm{x}}  + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} + 1 \ge 2\sqrt {\sqrt {\rm{x}}  \cdot \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }}}  + 1 = 3\).
Ta có \(P = \frac{1}{{\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1}} \le \frac{1}{3}\).