Cho biểu thức \({\rm{P}} = \left( {\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 3}} + \frac{5}{{\sqrt {\rm{x}} - 3}} - \frac{6}{{9 - {\rm{x}}}}} \right):\frac{6}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).
a) Rút gọn \(P\).
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \({\rm{P}}\) có giá trị nguyên.

a) Điều kiện : \(x > 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{x + 3 + \sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\)
b) Xét hiệu\(P - \frac{1}{3} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{3\sqrt x  + 3 - \sqrt x  - 3}}{{3\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x }}{{3\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0({\rm{\;v\`i \;}}x > 0){\rm{.\;}}\)

a) \(5x - \sqrt {{{(2x - 1)}^2}}  = 2\;\) hay \(5x - \left| {2x - 1} \right| = 2\)  (1)

Nếu \(x \ge \frac{1}{2}\) thì phương trình (1) trở thành \(5x - \left( {2x - 1} \right) = 2{\rm{\;}}\) hay \(3x = 1\) nên \(x = \frac{1}{3}\) (loại).

Nếu \(x < \frac{1}{2}\) thì thì phương trình (1) trở thành \(5x + \left( {2x - 1} \right) = 2{\rm{\;}}\) hay \(7x = 3\) nên \(x = \frac{3}{7}\) (thoả mãn)

b) \(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  = x.{\rm{\;}}\) ĐK: \(x \ge 1\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  + 1}  = x\\\sqrt {{{(\sqrt {x - 1}  + 1)}^2}}  = x\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left| {\sqrt {x - 1}  + 1} \right| = x\\\sqrt {x - 1}  + 1 - x = 0\;\\\sqrt {x - 1} \left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right) = 0\end{array}\)

\(\sqrt {x - 1}  = 0\) hoặc \[\sqrt {x - 1}  = 1\]

\[x = 1\] hoặc \[x = 2\] (thỏa mãn điều kiện).