Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x + x}}{{\sqrt x + 1}}\).
a) Rút gọn \(P\).
b) Chứng minh rằng biểu thức \({\rm{P}}\) luôn luôn không âm với mọi giá trị của \({\rm{x}}\) làm \({\rm{P}}\) xác định.

a) Điều kiện : \(x > 0\). Khi đó ta có \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}\)

Ta có \(:P = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x  + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}\).
Xét biểu thức ở mẫu \(\sqrt {\rm{x}}  + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} + 1 \ge 2\sqrt {\sqrt {\rm{x}}  \cdot \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }}}  + 1 = 3\).
Ta có \(P = \frac{1}{{\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1}} \le \frac{1}{3}\).

a) Ta có \(\sqrt {\frac{9}{{16}}:\frac{{25}}{{36}}} - \sqrt {\frac{{49}}{8}} :\sqrt {3\frac{1}{8}} = \sqrt {\frac{9}{{16}}:\frac{{25}}{{36}}} - \sqrt {\frac{{49}}{8}:\frac{{25}}{8}} = \frac{3}{4}:\frac{5}{6} - \sqrt {\frac{{49}}{{25}}} = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{5} = - \frac{1}{2}.\)

b) \(\sqrt {{{45,8}^2} - {{44,2}^2}} - \sqrt {6\left[ {{{(\sqrt 2 + 1)}^2} + {{(\sqrt 2 - 1)}^2}} \right]} = \sqrt {1,6.90} - \sqrt {6.6} = 4.3 - 6 = 6.\)