Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao\(AH\). Vẽ \(HM \bot AB;HN \bot AC\). Biết \(AB = 3\;{\rm{cm}}\); \(AC = 4\;{\rm{cm}}\).

a) Tính độ dài \[MN\].

b) Tính số đo các góc của tam giác\(AMN\).

c) Tính diện tích tứ giác\(BMNC\).

a) Xét \[\Delta AMB\] vuông tại \[B\]có: O10-2024-GV154.\[AM = \sqrt {B{A^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}}  = 13cm\]

Ta có: O10-2024-GV154 \[\sin \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{12}}{{13}}\];\[co{\mathop{\rm s}\nolimits} \widehat {AMB} = \frac{{BM}}{{AM}} = \frac{5}{{13}}\];\[\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{BM}} = \frac{{12}}{5}\];\[\cot \widehat {AMB} = \frac{1}{{{\rm{tan}}\widehat {AMB}}} = \frac{5}{{12}}\].

b)Xét \[\Delta AMB = \Delta DNA(c.g.c)\]\[ \Rightarrow AM = DN\].

c)Ta có: O10-2024-GV154 \[\tan \widehat {BAM} = \frac{{BM}}{{AB}}\];\[\cot \widehat {AND} = \frac{{AN}}{{AD}}\].Do\[ \Rightarrow BM = AN;AB = A{\rm{D}}\]

\[ \Rightarrow \tan \widehat {BAM} = \cot \widehat {AND}\] nên trong \[\Delta AKN\] có: O10-2024-GV154.\[\widehat {BAM}\] và\[\widehat {AND}\]phụ nhau.Suy ra \[\widehat {AKN} = {90^0}\].Vậy\[{\rm{AM}} \bot {\rm{DN}}\].

Ta có \({\sin ^2}80^\circ  = {\cos ^2}10^\circ ;{\sin ^2}70^\circ  = {\cos ^2}20^\circ ;{\sin ^2}60^\circ  = {\cos ^2}30^\circ ;{\sin ^2}50^\circ  = {\cos ^2}40^\circ \) và \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Nên \({\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}20^\circ  + {\sin ^2}30^\circ  + {\sin ^2}40^\circ  + {\sin ^2}50^\circ  + {\sin ^2}60^\circ  + {\sin ^2}70^\circ  + {\sin ^2}80^\circ \)

\( = {\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}20^\circ  + {\sin ^2}30^\circ  + {\sin ^2}40^\circ  + {\cos ^2}40^\circ  + {\cos ^2}30^\circ  + {\cos ^2}20^\circ  + {\cos ^2}10^\circ \)

\( = ({\sin ^2}10^\circ  + {\cos ^2}10^\circ ) + ({\sin ^2}20^\circ  + {\cos ^2}20^\circ ) + ({\sin ^2}30^\circ  + {\cos ^2}30^\circ ) + ({\sin ^2}40^\circ  + {\cos ^2}40^\circ )\)

\( = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\).