Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC,AC \ne 2.AB\)), \(M\) là trung điểm của \(BC\). Kẻ \(MH\) vuông góc với \(AC\) (\(H\) thuộc \(AC\)). Trên tia \(HM\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HM = MD\).

(a) Chứng minh: Tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành.

(b) Chứng minh: Tứ giác \(ABDH\) là hình chữ nhật.

(c) Đường thẳng đi qua \(A\) song song với \(BC\) cắt đường thẳng đi qua \(C\) song song với \(AM\) tại \(K\). Chứng minh :Tứ giác \(AMCK\) là hình thoi.

(d) Tam giác \(ABC\) cần có thêm điều kiện gì để tứ giác \(AMCK\) là hình vuông.

a) Chứng minh: Tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \[BHCD\] có \(HM = MD\), \(BM = MC\).

Do đó tứ giác \[BHCD\] là hình bình hành.

b) Chứng minh: Tứ giác \(ABDH\) là hình chữ nhật.

Vì \[BHCD\] là hình bình hành (câu a) nên \(BD{\rm{ // }}HC\)hay \(BD{\rm{ // }}AH\)

Vì \(MH \bot AC\) (gt) hay \(DH \bot AC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\DH \bot AC\end{array} \right.\) nên \(AB{\rm{ // }}DH\)

Xét tứ giác \[ABDH\] có: \(BD{\rm{ // }}AH\) và \(AB{\rm{ // }}DH\) nên \[ABDH\] là hình bình hành.

Xét hình bình hành \[ABDH\]có \(\widehat {BAH} = 90^\circ \) nên \[ABDH\] là hình chữ nhật.

c) Chứng minh: Tứ giác \(AMCK\) là hình thoi.

• Xét tứ giác \[AMCK\] có: \(AK\,{\rm{//}}\,MC\) (cmt) và \[CK{\rm{ // }}AM\] (gt) nên \[AMCD\] là hình bình hành.

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] (gt) nên \[AM\] là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

• Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \[AM\] là đường trung tuyến và \(AM = \frac{{BC}}{2}\) (tính chất).

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] (gt) nên \(MC = \frac{{BC}}{2}\) (tính chất).

• Xét hình bình hành \[AMCD\] có \[AM = MC\]( cùng bằng \[\frac{{BC}}{2}\]).

Do đó \[AMCD\] là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

d) Tam giác \(ABC\) cần có thêm điều kiện gì để tứ giác \(AMCK\) là hình vuông.

Vì tứ giác \[AMCK\] là hình thoi nên để tứ giác \[AMCK\] là hình vuông khi \(AM \bot MC\) hay \(AM \bot BC\)

Xét \(\Delta ABC\) có \[AM\] vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta ABC\)cân tại \[A\].

Vậy \[\Delta ABC\] cần có thêm điều kiện \[AB = AC\]thì \(AMCK\) là hình vuông.

Cách không dùng nhận xét tam giác cân

Vì tứ giác \[AMCK\] là hình thoi nên để tứ giác \[AMCK\] là hình vuông khi \(AM \bot MC\) hay \(AM \bot BC\)

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:

\[AM\] chung; \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\,\,{\rm{(cmt)}}\); \(MB = MC\) (câu c)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.g.c).

Suy ra \(AB = AC\) (hai cạnh tương ứng).

Vậy \[\Delta ABC\] cần có thêm điều kiện \[AB = AC\]thì \(AMCK\) là hình vuông.