Cô Thu có một mảnh vườn hình chữ nhật. Cô chia mảnh vườn này làm hai khu đất hình chữ nhật để trồng rau và trồng hoa (Với các kích thước có trong hình vẽ).

(a) Viết biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn theo \[x,y\]

(b) Tính diện tích khu đất trồng rau khi \[x = 4,y = 5\]

a) \[x\left( {3x - 5} \right) + 7x - 3{x^2} = 10\]

\[\begin{array}{l}3{x^2} - 5x + 7x - 3{x^2} = 10\\2x = 10\\x = 5\end{array}\]

b) \[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} + 1 = 5{x^2} - 3x\]

\[\begin{array}{l}{x^2} - 4 + 4{x^2} + 4x + 1 + 1 = 5{x^2} - 3x\\7x = 2\\x = \frac{2}{7}\end{array}\]

c) \[{\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 2} \right) = {x^3} + 7x - 9\]

\[\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - 6{x^2} + 6x - 2x + 2 = {x^3} + 7x - 9\\ - 3{x^2} + 12 = 0\\ - 3\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\{x^2} - 4 = 0\\{x^2} = 4\end{array}\]

\[x = 2\] hoặc \[x = - 2\]

Vậy \[x \in \left\{ { - 2;2} \right\}\]

a) Chứng minh: Tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \[BHCD\] có \(HM = MD\), \(BM = MC\).

Do đó tứ giác \[BHCD\] là hình bình hành.

b) Chứng minh: Tứ giác \(ABDH\) là hình chữ nhật.

Vì \[BHCD\] là hình bình hành (câu a) nên \(BD{\rm{ // }}HC\)hay \(BD{\rm{ // }}AH\)

Vì \(MH \bot AC\) (gt) hay \(DH \bot AC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\DH \bot AC\end{array} \right.\) nên \(AB{\rm{ // }}DH\)

Xét tứ giác \[ABDH\] có: \(BD{\rm{ // }}AH\) và \(AB{\rm{ // }}DH\) nên \[ABDH\] là hình bình hành.

Xét hình bình hành \[ABDH\]có \(\widehat {BAH} = 90^\circ \) nên \[ABDH\] là hình chữ nhật.

c) Chứng minh: Tứ giác \(AMCK\) là hình thoi.

• Xét tứ giác \[AMCK\] có: \(AK\,{\rm{//}}\,MC\) (cmt) và \[CK{\rm{ // }}AM\] (gt) nên \[AMCD\] là hình bình hành.

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] (gt) nên \[AM\] là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

• Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \[AM\] là đường trung tuyến và \(AM = \frac{{BC}}{2}\) (tính chất).

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] (gt) nên \(MC = \frac{{BC}}{2}\) (tính chất).

• Xét hình bình hành \[AMCD\] có \[AM = MC\]( cùng bằng \[\frac{{BC}}{2}\]).

Do đó \[AMCD\] là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

d) Tam giác \(ABC\) cần có thêm điều kiện gì để tứ giác \(AMCK\) là hình vuông.

Vì tứ giác \[AMCK\] là hình thoi nên để tứ giác \[AMCK\] là hình vuông khi \(AM \bot MC\) hay \(AM \bot BC\)

Xét \(\Delta ABC\) có \[AM\] vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta ABC\)cân tại \[A\].

Vậy \[\Delta ABC\] cần có thêm điều kiện \[AB = AC\]thì \(AMCK\) là hình vuông.

Cách không dùng nhận xét tam giác cân

Vì tứ giác \[AMCK\] là hình thoi nên để tứ giác \[AMCK\] là hình vuông khi \(AM \bot MC\) hay \(AM \bot BC\)

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:

\[AM\] chung; \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\,\,{\rm{(cmt)}}\); \(MB = MC\) (câu c)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.g.c).

Suy ra \(AB = AC\) (hai cạnh tương ứng).

Vậy \[\Delta ABC\] cần có thêm điều kiện \[AB = AC\]thì \(AMCK\) là hình vuông.