Tìm x, biết

(a) \[x\left( {3x - 5} \right) + 7x - 3{x^2} = 10\].

(b) \[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} + 1 = 5{x^2} - 3x\].

(c) \[{\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 2} \right) = {x^3} + 7x - 9\].

Ta có: \[a + b + c = 6\]

\[\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = {6^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 36\\\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {2ab + 2bc + 2ca} \right) = 36\\12 + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\\2\left( {ab + bc + ca} \right) = 24\\ab + bc + ca = 12\end{array}\]

Ta có \[{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}\]

\[ = {a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2}\]

\[\begin{array}{l} = \left( {{a^2} + {a^2}} \right) + \left( {{b^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {c^2}} \right) + \left( { - 2ab - 2bc - 2ca} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ = 2.12 - 2.12 = 0\end{array}\]

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,{{\left( {a - b} \right)}^2} \ge 0\,;\,\,{{\left( {b - c} \right)}^2} \ge 0\,;\,\,{{\left( {c - a} \right)}^2} \ge 0} \right)\\c - a = 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\].

Thay \[a = b = c\] vào \[a + b + c = 6\] ta được \[c + c + c = 6\] nên \[c = 2\].

Suy ra \[a = b = c = 2\].

Thay \[a = b = c = 2\] vào \[P = {\left( {a - 3} \right)^{2023}} + {\left( {b - 3} \right)^{2024}} + {\left( {c - 3} \right)^{2025}}\] có

\[P = {\left( {2 - 3} \right)^{2023}} + {\left( {2 - 3} \right)^{2024}} + {\left( {2 - 3} \right)^{2025}} = \left( { - 1} \right) + 1 + \left( { - 1} \right) = - 1\].

Vậy \[P = - 1\].

a) Chứng minh: Tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \[BHCD\] có \(HM = MD\), \(BM = MC\).

Do đó tứ giác \[BHCD\] là hình bình hành.

b) Chứng minh: Tứ giác \(ABDH\) là hình chữ nhật.

Vì \[BHCD\] là hình bình hành (câu a) nên \(BD{\rm{ // }}HC\)hay \(BD{\rm{ // }}AH\)

Vì \(MH \bot AC\) (gt) hay \(DH \bot AC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\DH \bot AC\end{array} \right.\) nên \(AB{\rm{ // }}DH\)

Xét tứ giác \[ABDH\] có: \(BD{\rm{ // }}AH\) và \(AB{\rm{ // }}DH\) nên \[ABDH\] là hình bình hành.

Xét hình bình hành \[ABDH\]có \(\widehat {BAH} = 90^\circ \) nên \[ABDH\] là hình chữ nhật.

c) Chứng minh: Tứ giác \(AMCK\) là hình thoi.

• Xét tứ giác \[AMCK\] có: \(AK\,{\rm{//}}\,MC\) (cmt) và \[CK{\rm{ // }}AM\] (gt) nên \[AMCD\] là hình bình hành.

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] (gt) nên \[AM\] là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

• Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \[AM\] là đường trung tuyến và \(AM = \frac{{BC}}{2}\) (tính chất).

Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] (gt) nên \(MC = \frac{{BC}}{2}\) (tính chất).

• Xét hình bình hành \[AMCD\] có \[AM = MC\]( cùng bằng \[\frac{{BC}}{2}\]).

Do đó \[AMCD\] là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).

d) Tam giác \(ABC\) cần có thêm điều kiện gì để tứ giác \(AMCK\) là hình vuông.

Vì tứ giác \[AMCK\] là hình thoi nên để tứ giác \[AMCK\] là hình vuông khi \(AM \bot MC\) hay \(AM \bot BC\)

Xét \(\Delta ABC\) có \[AM\] vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta ABC\)cân tại \[A\].

Vậy \[\Delta ABC\] cần có thêm điều kiện \[AB = AC\]thì \(AMCK\) là hình vuông.

Cách không dùng nhận xét tam giác cân

Vì tứ giác \[AMCK\] là hình thoi nên để tứ giác \[AMCK\] là hình vuông khi \(AM \bot MC\) hay \(AM \bot BC\)

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:

\[AM\] chung; \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\,\,{\rm{(cmt)}}\); \(MB = MC\) (câu c)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.g.c).

Suy ra \(AB = AC\) (hai cạnh tương ứng).

Vậy \[\Delta ABC\] cần có thêm điều kiện \[AB = AC\]thì \(AMCK\) là hình vuông.