Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

1. Giả sử AB = 20cm, AH = 12cm, HC = 5cm.

(a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.

(b) Tính chu vi tam giác ABC.

2. Từ trung điểm K của BH, kẻ KI vuông góc với AB (I \( \in \)AB).

Chứng minh: \(A{I^2} - B{I^2} = A{H^2}\).

Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

1. a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.

Vì \(AH \bot BC\)(gt) tại H nên\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Xét tam giác AHC vuông tại H (vì \[\widehat {AHC} = 90^\circ \]) có:

\(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\) (định lí Pythagore)

\[A{C^2} = {12^2} + {5^2} = 169\]

\[AC = 13\,\,{\rm{cm}}\]

b) Tính chu vi tam giác ABC.

Xét tam giác ABH vuông tại H (vì \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)) có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) (định lý Pythagore)

Tính được BH = 16 cm.

Tính \(BC = BH + HC = 16 + 5 = 21(cm)\).

Chu vi ∆ABC là AB + BC + AC = 20 + 21 + 13 = 54 (cm).

2. Từ trung điểm K của BH, kẻ KI vuông góc với AB (I thuộc AB). Chứng minh: \(A{I^2} - B{I^2} = A{H^2}\).

Áp dụng định lí Pythagore với

∆AIK vuông tại I suy ra AI² = AK² – KI² (1)

∆BIK vuông tại I suy ra BI² = BK² – KI² (2)

Lấy (1) trừ (2) suy ra: AI² – BI² = AK² – BK² (3)

∆AKH vuông tại H suy ra AH² = AK² – KH² (4)

Vì K là trung điểm BH (gt) nên BK = KH (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(A{I^2} - B{I^2} = A{H^2}\) (đpcm)