Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\) và trung tuyến \(AM.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\) Trên tia đối của tia \(HM\) lấy điểm \(N\) sao cho \(HN = HM.\)

1) Chứng minh \(AM = MB\) và tứ giác \(ANBM.\)

2) Qua \(N\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(BN\) cắt tia \(BA\) tại \(D.\) Chứng minh \(DM \bot BC\) và \(\Delta BDC\) cân.

3) Gọi \(K\) là giao điểm của \(DM\) và \(AC,\) kéo dài \(MA\) cắt \(DN\) tại \(J.\) Vẽ \(HP\) song song với \(NJ\) \(\left( {P \in MA} \right).\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HP.\) Tia \(MI\) cắt đoạn thẳng \(NJ\) tại \(E.\) Chứng minh \(E\) là trung điểm của \(NJ\) và \(MI\,{\rm{//}}\,JK.\)

1) Xét \(\Delta ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Xét tứ giác \(ANBM\) có \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(MN\) (do \(HN = HM)\) nên \(ANBM\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(ANBM\) có \(AM = MB\) nên là hình thoi.

2) ⦁ Vì \(ANBM\) là hình thoi nên \(BN = BM\) và \(BA\) là phân giác của \(\widehat {MBN}\) (tính chất hình thoi).

Xét \(\Delta BND\) và \(\Delta BMD\) có:

\(BN = BM;\)

\(\widehat {NBD} = \widehat {MBD}\) (do \(BA\) là phân giác của \(\widehat {MBN});\)

\(BD\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta BND = \Delta BMD\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BND} = \widehat {BMD}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {BMD} = \widehat {BND} = 90^\circ ,\) nên \(DM \bot BC\) tại \(M.\)

⦁ Ta có \(DM \bot BC\) tại \(M\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(DM\) là đường trung trực của \(BC.\)

Do đó \(DB = DC\) nên \(\Delta DBC\) cân tại \(D.\)

3) ⦁ Xét \(\Delta MJE\) có \(IP\,{\rm{//}}\,EJ\) nên \(\frac{{IP}}{{EJ}} = \frac{{MI}}{{ME}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Xét \(\Delta MNE\) có \(HI\,{\rm{//}}\,NE\) nên \(\frac{{HI}}{{NE}} = \frac{{MI}}{{ME}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Do đó \(\frac{{IP}}{{EJ}} = \frac{{HI}}{{NE}}\left( { = \frac{{MI}}{{ME}}} \right)\)

Mặt khác, \(I\) là trung điểm của \(HP\) nên \(IP = IH,\) do đó \(EJ = NE\) hay \(E\) là trung điểm \(NJ.\)

⦁ Vì \(ANBM\) là hình thoi nên \(AB \bot MN\)

Lại có \(AC \bot AB\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AC\).

Xét \(\Delta DHM\) có \(AK\,{\rm{//}}\,HM\) nên \(\frac{{DK}}{{KM}} = \frac{{DA}}{{AH}}\) (định lí Thalès). (1)

Xét \(\Delta MNJ\) có \(E,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(NJ\) và \(MN\) nên \(EH\) là đường trung bình của tam giác, do đó \[EH\,{\rm{//}}\,MJ\].

Xét \(\Delta DEH\) có \(JA\,{\rm{//}}\,EH\) nên \(\frac{{DJ}}{{JE}} = \frac{{DA}}{{AH}}\) (định lí Thalès). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{DK}}{{KM}} = \frac{{DJ}}{{JE}}\left( { = \frac{{DA}}{{AH}}} \right).\) Do đó \(JK\,{\rm{//}}\,EM\) (định lí Thalès đảo).

Vậy \(MI\,{\rm{//}}\,JK.\)