Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \[\left( {AB < AC} \right)\], đường cao \[AH,{\rm{ }}M\] là trung điểm \[BC.\] Vẽ \[MD\] song song với \[AC\] \[(D\] thuộc \[AB),\] \[ME\] song song với \[AB\] \[(E\] thuộc \[AC).\]

a) Cho \[AB = 6\] cm, \[BC = 10\] cm, tính \[AC.\]

b) Chứng minh tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng \[BDEM\] là hình bình hành.

d) Trên tia đối \[EB\] lấy \[K\] sao cho \[EB = EK;\] trên tia đối \[EM\] lấy \[I\] sao cho \[EM = EI.\] Chứng minh ba điểm \[A;\,\,I;\,\,K\] thẳng hàng.

Tứ giác \[ADME\] có: \[\widehat {DAE} = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ .\]

Do đó tứ giác \[ADME\] có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

c) Xét \(\Delta ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(MB = MC = AM = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ABM\) có \(MA = MB\) nên \(\Delta ABM\) cân tại \(M,\) khi đó \(MD\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABM.\)

Do đó \[D\] là trung điểm \[AB\] nên \[DA = DB = \frac{1}{2}AB.\]

Mà \(ME = DA\) (do \[ADME\] là hình chữ nhật) nên \(ME = DB.\)

Xét tứ giác \(BDEM\) có \(ME\,{\rm{//}}\,BD\) và \(ME = DB,\) nên là hình bình hành.

d) Xét \(\Delta ABC\) có \[ME\,{\rm{//}}\,AB\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[E\] là trung điểm \[AC.\]

Tứ giác \[AKCB\] có \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(BK\) (do \[BE = EK)\] nên tứ giác \[AKCB\] là hình bình hành. Suy ra \[AK\,{\rm{//}}\,BC.\,\,\,\left( 3 \right)\]

Tứ giác \[AICM\] có \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(MI\) (do \[EM = EI)\] nên tứ giác \[AICM\] là hình bình hành. Suy ra \[AI\,{\rm{//}}\,BC.\,\,\,\left( 4 \right)\]

Theo tiên đề Euclid, qua \[A\] chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với \[BC\] nên từ \[\left( 3 \right)\] và \[\left( 4 \right)\] ta phải có \[A;\,\,I;\,\,K\] thẳng hàng.