a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(P = {x^2} - 2xy + 2{y^2} - 2x + 3y + 3\).

b) Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \(B\) không phụ thuộc vào \(a,\,\,b,\,\,c.\)

\(B = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(P = {x^2} - 2xy + 2{y^2} - 2x + 3y + 3\)

\( = {x^2} - 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 1 + {y^2} + y + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}\)

\( = {\left( {x - y} \right)^2} - 2\left( {x - y} \right) + 1 + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}\)

\( = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}.\)

Vì: \({\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y;\)

\({\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(y\)

Nên: \(P \ge \frac{7}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - y - 1 = 0\) và \(y + \frac{1}{2} = 0,\) tức là \(y =  - \frac{1}{2}\) và \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{7}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) và \(y =  - \frac{1}{2}.\)

b) Với \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: \(B = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.\)

Vậy giá trị biểu thức \(B\) không phụ thuộc vào \(a,\,\,b,\,\,c.\)