II. TỰ LUẬN

Cho hai biểu thức \(A = \frac{x}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 8}}{{4 - {x^2}}}\) \(\left( {x \ne 2;\,\,x \ne  - 2} \right);\) \(B = \frac{5}{{x + 1}}\) \(\left( {x \ne  - 1} \right).\)

a) Rút gọn \(A\).

b) Tính giá trị của \(A\) biết \(x =  - 6\).

c) Tìm \(x\) để \(A = 2\).

d) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(M = A:B\) nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với điều kiện \(x \ne 2;\,\,x \ne  - 2,\) ta có:

\(A = \frac{x}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 8}}{{4 - {x^2}}}\)

   \( = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{x^2} + 2x - \left( {2{x^2} - 4x + x - 2} \right) + {x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{x^2} + 2x - 2{x^2} + 4x - x + 2 + {x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{5x + 10}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{5}{{x - 2}}.\)

Vậy với \(x \ne 2;\,\,x \ne  - 2\) thì \(A = \frac{5}{{x - 2}}.\)

b) Thay \(x =  - 6\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(A\) ta có: \(A = \frac{5}{{ - 6 - 2}} = \frac{5}{{ - 8}} = \frac{{ - 5}}{8}.\)

Vậy với  \(x =  - 6\) thì \(A = \frac{{ - 5}}{8}.\)

c) Với \(x \ne 2;\,\,x \ne  - 2,\) để \(A = 2\) ta có: \(\frac{5}{{x - 2}} = 2\)

\(5 = 2\left( {x - 2} \right)\)

\(x - 2 = \frac{5}{2}\)

\(x = \frac{5}{2} + 2\)

\(x = \frac{9}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{9}{2}\) thì \(A = 2\).

d) Với \(x \ne 2;\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne  - 1\) ta có:

\(M = A:B = \frac{5}{{x - 2}}:\frac{5}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)\( = \frac{{x - 2 + 3}}{{x - 2}} = 1 + \frac{3}{{x - 2}}.\)

Để \(M\) nguyên khi \(\frac{3}{{x - 2}}\) nguyên khi \(x - 2 \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3;\,\, - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}.\)

Ta có bảng giá trị