Cho hai biểu thức: \[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\] và \[B = \frac{{x - 3\sqrt x  + 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\] với \[x > 0\]; \[x \ne 4\]

1) Tính giá trị biểu thức A tại \[x = 9\]

2) Chứng minh rằng \[B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\]

3) Đặt \[P = A.B\]. Tìm các giá trị \[x\] nguyên để \[P \le {P^2}\]

Gọi \(L(x)\) là lợi nhuận của doanh nghiệp sau khi đã đóng thuế. Ta có:

\(L(x) = F(x) - G(x) - tx\)

\(L(x) = (2500x - {x^2}) - ({x^2} + 1700x - 1500) - tx\)

\(L(x) =  - 2{x^2} + (800 - t)x + 1500\)

Để tìm lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp theo biến sản lượng x, ta biến đổi hàm số về dạng bình phương:

\(L(x) =  - 2\left[ {{x^2} - \frac{{800 - t}}{2}x} \right] + 1500\)

\(L(x) =  - 2\left[ {{x^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{{800 - t}}{4} + {{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)}^2}} \right] + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 1500\)

\(L(x) =  - 2{\left( {x - \frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 1500 \le 1500 + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi doanh nghiệp lựa chọn sản lượng: \(x = \frac{{800 - t}}{4}\)

Khi đó, tổng số tiền thuế Nhà nước thu được là \[T\left( t \right)\]

\(T(t) = t \cdot x = t \cdot \frac{{800 - t}}{4} = \frac{1}{4}(800t - {t^2})\)

\(T(t) =  - \frac{1}{4}({t^2} - 800t) =  - \frac{1}{4}({t^2} - 2 \cdot t \cdot 400 + {400^2}) + \frac{{{{400}^2}}}{4}\)

\(T(t) =  - \frac{1}{4}{\left( {t - 400} \right)^2} + 40\,\,000\)

Để số tiền thuế \[T\left( t \right)\] đạt giá trị lớn nhất thì:

\({(t - 400)^2} = 0 \Rightarrow t = 400\)

Với \[t = 400\], ta kiểm tra lại điều kiện:

\[t = 400\] thỏa mãn \[0 < t < 500\].

Sản lượng \[x = 4800 - 400\, = 100\] thỏa mãn \[0 < x \le 300\].

Vậy với mức thuế \[t = 400\] (nghìn đồng) thì Nhà nước thu được nhiều thuế nhất và doanh nghiệp cũng đạt lợi nhuận tốt nhất (theo mức thuế đó).

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (đơn vị: \({\rm{km/h}}\), điều kiện: \(x > 2\)).

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng từ \(A\)đến \(B\)là: \(x + 2\)(km/h).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng từ \(B\)về \(A\)là: \(x - 2\)(km/h).

Thời gian ca nô di chuyển thực tế trên sông là:\(11 - 1 = 10\)( h)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ \(A\)đến \(B\)là:\(\frac{{48}}{{x + 2}}\)( giờ)

Thời gian ca nô đi ngược dòng từ \(B\)về \(A\)là:\(\frac{{48}}{{x - 2}}\)( giờ)

Theo đề bài, ta có phương trình:\(\frac{{48}}{{x + 2}} + \frac{{48}}{{x - 2}} = 10\)

\(48(x - 2) + 48(x + 2) = 10(x + 2)(x - 2)\)

\(96x = 10{x^2} - 40\)

\(5{x^2} - 48x - 20 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {( - 24)^2} - 5 \cdot ( - 20) = 576 + 100 = 676 = {26^2} > 0.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{24 + 26}}{5} = \frac{{50}}{5} = 10\)(tm).

\({x_2} = \frac{{24 - 26}}{5} =  - \frac{2}{5}\)(loại).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là \(10{\rm{ km/h}}\).