Một chiếc quạt trang trí tết (hình bên) được làm bằng hai lớp giấy có bán kính bằng \(6\,\,{\rm{dm}}\) và góc ở tâm là \(150^\circ \).

 

a) Tính diện tích giấy để làm chiếc quạt đó (biết các mép dán không đáng kể, lấy \(\pi  \approx 3,14\))

b) Biết \(1{{\rm{m}}^2}\) giấy làm quạt có giá 160 000 đồng. Tính số tiền bạn An mua giấy để làm 10 cái quạt trên (làm tròn đến hàng nghìn).

Gọi \(L(x)\) là lợi nhuận của doanh nghiệp sau khi đã đóng thuế. Ta có:

\(L(x) = F(x) - G(x) - tx\)

\(L(x) = (2500x - {x^2}) - ({x^2} + 1700x - 1500) - tx\)

\(L(x) =  - 2{x^2} + (800 - t)x + 1500\)

Để tìm lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp theo biến sản lượng x, ta biến đổi hàm số về dạng bình phương:

\(L(x) =  - 2\left[ {{x^2} - \frac{{800 - t}}{2}x} \right] + 1500\)

\(L(x) =  - 2\left[ {{x^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{{800 - t}}{4} + {{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)}^2}} \right] + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 1500\)

\(L(x) =  - 2{\left( {x - \frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2} + 1500 \le 1500 + 2{\left( {\frac{{800 - t}}{4}} \right)^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi doanh nghiệp lựa chọn sản lượng: \(x = \frac{{800 - t}}{4}\)

Khi đó, tổng số tiền thuế Nhà nước thu được là \[T\left( t \right)\]

\(T(t) = t \cdot x = t \cdot \frac{{800 - t}}{4} = \frac{1}{4}(800t - {t^2})\)

\(T(t) =  - \frac{1}{4}({t^2} - 800t) =  - \frac{1}{4}({t^2} - 2 \cdot t \cdot 400 + {400^2}) + \frac{{{{400}^2}}}{4}\)

\(T(t) =  - \frac{1}{4}{\left( {t - 400} \right)^2} + 40\,\,000\)

Để số tiền thuế \[T\left( t \right)\] đạt giá trị lớn nhất thì:

\({(t - 400)^2} = 0 \Rightarrow t = 400\)

Với \[t = 400\], ta kiểm tra lại điều kiện:

\[t = 400\] thỏa mãn \[0 < t < 500\].

Sản lượng \[x = 4800 - 400\, = 100\] thỏa mãn \[0 < x \le 300\].

Vậy với mức thuế \[t = 400\] (nghìn đồng) thì Nhà nước thu được nhiều thuế nhất và doanh nghiệp cũng đạt lợi nhuận tốt nhất (theo mức thuế đó).

Có 15 kết quả có thể xảy ra của phép thử: “Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp”.

Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên tấm thẻ được rút ra là số nguyên tố”

Các thẻ có số là số nguyên tố là: 2; 3; 5; 7; 11; 13.  Nên có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Do đó xác suất  của biến cố A là \[P\left( A \right) = \frac{6}{{15}} = 0,4\]

Vậy xác suất  của biến cố A là \[0,4\]