Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết \(x\) sản phẩm (\(0 < x \le 300;x \in \mathbb{N}\)), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là \(F(x) = 2500x - {x^2}\) (đơn vị: nghìn đồng) và tổng chi phí sản xuất là \(G(x) = {x^2} + 1700x - 1500\) (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là \(t\) (nghìn đồng) (\(0 < t < 500\)). Giá trị của \(t\) bằng bao nhiêu để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?

Có 15 kết quả có thể xảy ra của phép thử: “Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp”.

Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên tấm thẻ được rút ra là số nguyên tố”

Các thẻ có số là số nguyên tố là: 2; 3; 5; 7; 11; 13.  Nên có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Do đó xác suất  của biến cố A là \[P\left( A \right) = \frac{6}{{15}} = 0,4\]

Vậy xác suất  của biến cố A là \[0,4\]

1) Thay \[x = 9\] (thỏa mãn) vào biểu thức A ta được: \[A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  + 2}} = \frac{3}{5}\].

Vậy với \[x = 9\] thì \[A = \frac{3}{5}\].

2) \[B = \frac{{x - 3\sqrt x  + 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\]\[ = \frac{{x - 3\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\]

\[ = \frac{{x - 3\sqrt x  + 4 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{x - 4\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\](đpcm)

3) \[P = A.B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}.\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 - \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\]

Ta có: \[x > 0 \Rightarrow \sqrt x  > 0 \Rightarrow \sqrt x  + 2 > 0 \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} > 0 \Rightarrow 1 - \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} < 1\]

\[ \Rightarrow P < 1 \Rightarrow \left( {1 - P} \right) > 0\]

Để \[P \le {P^2} \Rightarrow P - {P^2} \le 0 \Rightarrow P\left( {1 - P} \right) \le 0\]

\[ \Rightarrow P \le 0 \Rightarrow \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} \le 0 \Rightarrow \sqrt x  - 2 \le 0\] (do \[\sqrt x  + 2 > 0\])\[ \Rightarrow x < 4\]

KHĐK: \[0 < x < 4\]

Mà x nguyên nên \[x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\].