(1,5 điểm).

 Cho hai biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x  + 2}}{x}\]và  \[B = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}\]   với \[x > 0,x \ne 1\] .  

a) Tính giá trị của biểu thức A khi \[x = 4\].       

b) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\].

c) Cho \[M = A:B\]. Tìm tất cả các giá trị của x để \[2M - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\].

a) Thay \[x = 4\]vào biểu thức A ta được: \[A = \frac{{\sqrt 4  + 2}}{4} = 1\].

Vậy \[A = 1\].

b) \[B = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}\]   với    \[x > 0,x \ne 1\]    

\[B = \frac{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x  + 5\sqrt x  - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\]

c) Cho \[M = A:B\] Tìm tất cả các giá trị của x để \[2M - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\]                                           

\[M = A:B\]

\[M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{x}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{x}\] với \[x > 0,x \ne 1\]    

\[\begin{array}{l}2M - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\\2.\frac{{\sqrt x  - 1}}{x} - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\frac{{2\sqrt x  - 4}}{x} - \frac{1}{4} \ge 0\\\frac{{8\sqrt x  - 16}}{{4x}} \ge 0\end{array}\]

Ta có \[x > 0,x \ne 1\] suy ra  \[4x > 0 \Rightarrow \,\,\,8\sqrt x  - 16 \ge 0\]

Do đó \[\sqrt x  \ge 2\] nên \[x \ge 4\].

Vậy \[x \ge 2\]