(2,5 điểm)

Một xưởng sản xuất phải làm xong 40 000 lá cờ cho các cổ động viên trong một số ngày quy định để chuẩn bị cho Sea Game 32. Thực tế, mỗi ngày xưởng đó đã làm được nhiều hơn 200 lá cờ so với kế hoạch. Vì thế xưởng sản xuất đã hoàn thành công việc sớm hơn 10 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng sản xuất phải làm bao nhiêu lá cờ? (Giả định rằng số lá cờ mà xưởng sản xuất đó làm mỗi ngày là như nhau).

Gọi \(x\) là số lần ném trúng bóng vào rổ của học sinh (\(x \in \mathbb{N},0 \le x \le 10\)).

Khi đó, số lần ném bóng ra ngoài là: \(10 - x\) (lần).

Theo đề bài, mỗi lần ném trúng được cộng 3 điểm và mỗi lần ném ra ngoài bị trừ 1 điểm.

Tổng số điểm của học sinh đó là: \(3x - 1(10 - x)\) (điểm)

Để được chọn vào đội tuyển, học sinh phải đạt từ 20 điểm trở lên, ta có bất phương trình:

\(3x - (10 - x) \ge 20\)

\(3x - 10 + x \ge 20\)

\(4x - 10 \ge 20\)

\(4x \ge 30\)

\(x \ge \frac{{30}}{4}\)

 \(x \ge 7,5\)

Vì \(x\) là số lần ném trúng (phải là số tự nhiên) và \(x \ge 7,5\), nên giá trị nhỏ nhất của \(x\) thỏa mãn là \(x = 8\). Vậy học sinh đó phải ném trúng ít nhất 8 quả bóng vào rổ.

Cho phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\). Biết phương trình trên có một nghiệm là \(x = \frac{5}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 2}}\)

Vì \(x = \frac{5}{2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\), ta thay \(x = \frac{5}{2}\) vào phương trình: \({\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 6\left( {\frac{5}{2}} \right) + m = 0\)

\(\frac{{25}}{4} - 15 + m = 0\)

\(\frac{{25}}{4} - \frac{{60}}{4} + m = 0\)

\(\begin{array}{l} - \frac{{35}}{4} + m = 0\\m = \frac{{35}}{4}\end{array}\)

Khi đó phương trình trở thành: \({x^2} - 6x + \frac{{35}}{4} = 0\).

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 6}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{35}}{4}}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(M = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 2}}\)

\(M = \frac{{({x_1} - 1)({x_1} + 2) + ({x_2} - 1)({x_2} + 2)}}{{({x_2} + 2)({x_1} + 2)}}\)

\(M = \frac{{(x_1^2 + {x_1} - 2) + (x_2^2 + {x_2} - 2)}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

\(M = \frac{{(x_1^2 + x_2^2) + ({x_1} + {x_2}) - 4}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

\(M = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2} + ({x_1} + {x_2}) - 4}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}\)

Thay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 6}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{35}}{4}}\end{array}} \right.\)vào biểu thức \(M\):

\(M = \frac{{{6^2} - 2.\frac{{35}}{4} + 6 - 4}}{{\frac{{35}}{4} + 2.6 + 4}} = \frac{{\frac{{41}}{2}}}{{\frac{{99}}{4}}} = \frac{{82}}{{99}}\)

Vậy \(M = \frac{{82}}{{99}}\).