(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{9 - x}}{{\sqrt x  + 1}}\) và \[B = \frac{{3\sqrt x  - 6}}{{x - 9}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\] (với\[x \ge 0,x \ne 9\]).

1. Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi\[x = 16\].

2. Chứng minh: \(B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 9}}\).

3. Xét biểu thức\[P = AB\]. Tìm \(x\) để \[\left| P \right| - P = 0.\]

a) Thể tích nước trong cốc là: \({V_{nc}} = \pi  \cdot {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} \cdot 10 = 90\pi \) \(({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)

b) Gọi \(x\) (viên) là số viên bi tối đa có thể thả vào \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì thể tích một viên bi là \(\frac{4}{3}\pi \) nên thể tích của \(x\) viên bi là: \(\frac{4}{3}\pi x\) \(({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\).

Để nước không bị tràn ra ngoài thì:

\(90\pi  + \frac{4}{3}\pi x \le \pi  \cdot {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} \cdot 12\)

\(90 + \frac{4}{3}x \le 108\)

\(\frac{4}{3}x \le 18\)

\(x \le 13,5\)

Mà \(x \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {x_{max}} = 13\).

Vậy có thể thả tối đa 13 viên bi.

Do tam giác \[ABC\] nên \[\widehat {B\,} = 60^\circ \]

Ta có: \[MN = QP = x\] (dm) (do \[MNPQ\] là hình chữ nhật) (\[x > 0\])

Dễ chứng minh được \[\Delta QBM = \Delta PCN\]

\[ \Rightarrow BM = NC = \frac{{BC - MN}}{2} = \frac{{16 - x}}{2}\](dm)

Xét \[\Delta BQM\] vuông tại \[B\] có \[QM = BM.\tan B = \frac{{16 - x}}{2}.\tan 60^\circ  = \sqrt 3 .\left( {8 - 0,5x} \right)\] (dm)

Diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] là:

\[S = QM.MN = \sqrt 3 .\left( {8 - 0,5x} \right).x = \sqrt 3 .\left( {8x - 0,5{x^2}} \right)\]

\[\begin{array}{c} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 16x} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 16x + 64 - 64} \right)\\ =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{{\left( {x - 8} \right)}^2} - 64} \right]\end{array}\]

Vì \[{\left( {x - 8} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[x > 0\]

Suy ra \[{\left( {x - 8} \right)^2} - 64 \ge  - 64\] nên \[ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{{\left( {x - 8} \right)}^2} - 64} \right] \le  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { - 64} \right)\] hay \[S \le 32\sqrt 3 \].

Dấu “=” xảy ra khi \[{\left( {x - 8} \right)^2} = 0\] hay \[x = 8\] (TMĐK).

Vậy diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] lớn nhất bằng \[32\sqrt 3 \]\[d{m^2}\] tại \[x = 8dm\].