(4.0 điểm)
Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng \(6\,\,{\rm{cm}}\), chiều cao \(12\,\,{\rm{cm}}\) và chứa một lượng nước cao \(10\,\,{\rm{cm}}\) (như hình minh họa)
a. Tính thể tích nước trong cốc.
b. Người ta thả từ từ từng viên bi hình cầu làm bằng thép đặc (không thấm nước) Có thể tích là \(\frac{4}{3}\pi {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\) vào trong cốc. Hỏi có thể thả tối đa bao nhiêu viên bi để nước không bị tràn ra ngoài?
(4.0 điểm)
Một cốc nước có dạng hình trụ có đường kính đáy bằng \(6\,\,{\rm{cm}}\), chiều cao \(12\,\,{\rm{cm}}\) và chứa một lượng nước cao \(10\,\,{\rm{cm}}\) (như hình minh họa)
a. Tính thể tích nước trong cốc.
b. Người ta thả từ từ từng viên bi hình cầu làm bằng thép đặc (không thấm nước) Có thể tích là \(\frac{4}{3}\pi {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\) vào trong cốc. Hỏi có thể thả tối đa bao nhiêu viên bi để nước không bị tràn ra ngoài?
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Hà Nội !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Thể tích nước trong cốc là: \({V_{nc}} = \pi \cdot {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} \cdot 10 = 90\pi \) \(({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
b) Gọi \(x\) (viên) là số viên bi tối đa có thể thả vào \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Vì thể tích một viên bi là \(\frac{4}{3}\pi \) nên thể tích của \(x\) viên bi là: \(\frac{4}{3}\pi x\) \(({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\).
Để nước không bị tràn ra ngoài thì:
\(90\pi + \frac{4}{3}\pi x \le \pi \cdot {\left( {\frac{6}{2}} \right)^2} \cdot 12\)
\(90 + \frac{4}{3}x \le 108\)
\(\frac{4}{3}x \le 18\)
\(x \le 13,5\)
Mà \(x \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {x_{max}} = 13\).
Vậy có thể thả tối đa 13 viên bi.
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
Cho nửa đường tròn \((O;R)\), đường kính \(AB\). Từ điểm \(M\) bất kì trên tiếp tuyến \(Ax\) của nửa đường tròn \((O)\) vẽ tiếp tuyến thứ hai \(MC\) (\(C\) là tiếp điểm). Gọi \(I\) là giao điểm của \(OM\) và \(AC\).
a. Chứng minh bốn điểm \(A,M,C,O\) cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh: \(OM\,{\rm{//}}\,BC\) và \(OI.OM = {R^2}\).
c. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(C\) đến \(AB\), \(MB\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(D\) và
cắt \(CH\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(CH\).
Cho nửa đường tròn \((O;R)\), đường kính \(AB\). Từ điểm \(M\) bất kì trên tiếp tuyến \(Ax\) của nửa đường tròn \((O)\) vẽ tiếp tuyến thứ hai \(MC\) (\(C\) là tiếp điểm). Gọi \(I\) là giao điểm của \(OM\) và \(AC\).
a. Chứng minh bốn điểm \(A,M,C,O\) cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh: \(OM\,{\rm{//}}\,BC\) và \(OI.OM = {R^2}\).
c. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(C\) đến \(AB\), \(MB\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(D\) và
cắt \(CH\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(CH\).
Giải bởi Vietjack
a) Vì \(Ax\) là tiếp tuyến của \((O) \Rightarrow Ax \bot AB\).
\( \Rightarrow \Delta AMO\) vuông tại \(A \Rightarrow A,M,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\) \((1)\).
Vì \(MC\) là tiếp tuyến của \((O) \Rightarrow MC \bot OC \Rightarrow \Delta MOC\) vuông tại \(C\).
\( \Rightarrow M,C,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\) \((2)\).
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow A,M,C,O\) cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
b) Vì \(AM\) và \(MC\) là hai tiếp tuyến của \((O)\) cắt nhau tại \(M\)\( \Rightarrow AM = MC\).
Mà \(AO = OC( = R)\)\( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của \(AC\)\( \Rightarrow OM \bot AC\).
Lại có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AC \bot BC\) nên \(OM\,{\rm{//}}\,BC\) (đpcm).
Xét \(\Delta AOI\) và \(\Delta MOA\) có: \(\widehat {AOM}\) chung; \(\widehat {AIO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
\( \Rightarrow \frac{{OI}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}} \Rightarrow OI \cdot OM = O{A^2} = {R^2}\) (đpcm).
c) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\).
Ta có: \(\widehat {NAC} + \widehat {ANC} = 90^\circ \) (\(\Delta ACN\) vuông tại \(C\) vì \(AC \bot BC\)).
\(\widehat {MCN} + \widehat {MCA} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACN} = 90^\circ \)).
Mà \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\) (\(\Delta MAC\) cân tại \(M\) do \(MA = MC\)) nên \(\widehat {ANC} = \widehat {MCN}.\)
\( \Rightarrow \Delta MCN\) cân tại \(M \Rightarrow MN = MC.\)
Mà \(MC = MA \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AN.\)
Vì \(CH \bot AB\) (gt) mà \(MA \bot AB\) (cmt) nên \(CH\,{\rm{//}}\,AM.\)
Áp dụng hệ quả định lý Thalès, ta có: \(\frac{{CK}}{{MN}} = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KH}}{{AM}}.\)
Mà \(MN = AM \Rightarrow CK = KH\) nên \(K\) là trung điểm của \(CH\) (đpcm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Do tam giác \[ABC\] nên \[\widehat {B\,} = 60^\circ \]
Ta có: \[MN = QP = x\] (dm) (do \[MNPQ\] là hình chữ nhật) (\[x > 0\])
Dễ chứng minh được \[\Delta QBM = \Delta PCN\]
\[ \Rightarrow BM = NC = \frac{{BC - MN}}{2} = \frac{{16 - x}}{2}\](dm)
Xét \[\Delta BQM\] vuông tại \[B\] có \[QM = BM.\tan B = \frac{{16 - x}}{2}.\tan 60^\circ = \sqrt 3 .\left( {8 - 0,5x} \right)\] (dm)
Diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] là:
\[S = QM.MN = \sqrt 3 .\left( {8 - 0,5x} \right).x = \sqrt 3 .\left( {8x - 0,5{x^2}} \right)\]
\[\begin{array}{c} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 16x} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 16x + 64 - 64} \right)\\ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{{\left( {x - 8} \right)}^2} - 64} \right]\end{array}\]
Vì \[{\left( {x - 8} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[x > 0\]
Suy ra \[{\left( {x - 8} \right)^2} - 64 \ge - 64\] nên \[ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{{\left( {x - 8} \right)}^2} - 64} \right] \le - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { - 64} \right)\] hay \[S \le 32\sqrt 3 \].
Dấu “=” xảy ra khi \[{\left( {x - 8} \right)^2} = 0\] hay \[x = 8\] (TMĐK).
Vậy diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] lớn nhất bằng \[32\sqrt 3 \]\[d{m^2}\] tại \[x = 8dm\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \[x\left( {x > 2;km/h} \right)\]
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là: \[x + 2\left( {km/h} \right)\] và \[x - 2\left( {km/h} \right)\].
Thời gian ca nô xuôi dòng và ngược dòng 48km lần lượt là: \[\frac{{120}}{{x + 2}}\left( h \right)\] và \[\frac{{120}}{{x - 2}}\left( h \right)\].
Theo bài ra ta có phương trình: \[\frac{{120}}{{x + 2}} + \frac{{120}}{{x - 2}} = \frac{7}{2}\]
Giải phương trình trên ta được: \[x = 22\left( {TM} \right);x = \frac{2}{7}\left( L \right)\]
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \[22km/h\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập