(0,5 điểm):  Trên một đoạn đường giao thông có hai con đường vuông góc với nhau tại \(O\) như hình vẽ. Một địa danh có vị trí đặt tại \(M\), vị trí \(M\) cách đường \(Ox\)là \(216\,m\) và cách đường \(Oy\)là \(1\,\,km\). Vì lý do thực tiễn, người ta muốn làm một đoạn đường thẳng \(AB\) đi qua vị trí \(M\), biết rằng giá để làm \(100\,m\) đường là \(200\) triệu đồng. Chọn vị trí \(A\) và \(B\) để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu?

Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc của xe tải và \(y\) (km/h) là vận tốc của xe khách (\(x,y > 0)\).

Vì mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km nên ta có: \(x - y = 15\;\left( 1 \right)\)

Đổi 1 giời 30 phút = \(\frac{3}{2}\) giờ, 40 phút = \(\frac{2}{3}\;\)giờ.

Thời gian xe khách đi được là: \(\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{13}}{6}\) giờ

0,25

Quãng đường xe khách đi được là \(\frac{{13}}{6}x\) (km).

Quãng đường xe tải đi được là \(\frac{2}{3}y\) (km).

Vì quãng đường Hà Nội đến Thanh Hóa dài 160 km nên: \(\frac{{13}}{6}x + \frac{2}{3}y = 160\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 15}\\{\frac{{13}}{6}x + \frac{2}{3}y = 160}\end{array}} \right.\) Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 60(tm)\\y = 45(tm)\end{array} \right.\)

0,25

0,25

Vậy vận tốc của xe khách là 60 km/h và vận tốc của xe tải là 45 km/h.

0,25

a)    Chứng minh bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

a) Vì \(AM \bot MC;CH \bot AB\) nên: \(\widehat {AMC} = 90^\circ ;\widehat {AHC} = 90^\circ \).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), ta có \(IA = IC = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 1 \right)\)

0,25

Trong tam giác \(MAC\) vuông tại \(M\) có \(MI\) là đường trung tuyến nên \(MI = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 2 \right)\)

Trong tam giác \(AHC\) vuông tại \(M\) có \(HI\) là đường trung tuyến nên \(HI = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 3 \right)\)

0,25

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\), ta có: \(IA = IC = IH = IM = \frac{1}{2}AC\).

0,25

Suy ra \(A,\,M,\,C,\,H\,\, \in \left( {I;\frac{{AC}}{2}} \right)\)

Vậy bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

0,25

b) Khi \(A,B\) cố định, chứng minh rằng : \(C{H^2} = AH.BH\)

Xét \(\Delta ACB\) có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB và

\(CO = \frac{1}{2}AB\) suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại C

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta CHB\) có

\(\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) (vì \(AH \bot AB\))

Xét tam giác vuông \(AHC\)có : \(\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = 90^\circ \)

\(\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CAH} = \widehat {HCB}\) (cùng phụ \[\widehat {ACH}\])

Suy ra: $\Delta AHC\backsim \Delta CHB(g.g)$

Do đó: \(\,\,\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HC}}{{HB}}\), suy ra: \(C{H^2} = AH.HB\)

0,25

0,25

c) Xác định vị trí của \(C\) trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) để \(AM.BN\) lớn nhất.

Vì \[AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\] suy ra \(AM\,{\rm{//}}\,OC\).

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\)

Ta có OA = OC suy ra \(\Delta OAC\) cân tại O

Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Xét \(\Delta AMC\) và  có

\(\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); AC là cạnh chung; \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AM = AH

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HB = NB

0,25

Suy ra \(AM.BN = AH.HB = C{H^2}\)

Ta có \(CH \le CO = R\)

\(\begin{array}{l}Suy\,ra\,\,AM.BN \le {R^2} \Rightarrow Min(AM.BN) = {R^2}\,\\Khi\,\,CH = CO \Rightarrow \Delta ACB\,vu\^o ng\,\,c\^a n\,\,tai\,C\end{array}\)

Khi đó C là điểm chính giữa cung AB

0,25