(0,5 điểm):  Trên một đoạn đường giao thông có hai con đường vuông góc với nhau tại \(O\) như hình vẽ. Một địa danh có vị trí đặt tại \(M\), vị trí \(M\) cách đường \(Ox\)là \(216\,m\) và cách đường \(Oy\)là \(1\,\,km\). Vì lý do thực tiễn, người ta muốn làm một đoạn đường thẳng \(AB\) đi qua vị trí \(M\), biết rằng giá để làm \(100\,m\) đường là \(200\) triệu đồng. Chọn vị trí \(A\) và \(B\) để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu?

Ta có hình vẽ minh họa như sau

Kí hiệu như hình vẽ

Ta được \[MI = 216\left( m \right)\];

\[MN = 1\left( {km} \right) = 1000m\]

Đặt: \[AM = x\,\left( m \right)\left( {x > 216} \right)\]

Áp dụng định lí Pytgagore trong tam giác vuông \[AMI\], ta có

\[AI = \sqrt {{x^2} - {{216}^2}} \left( m \right)\]

Nhận thấy , nên

    \[\frac{{AI}}{{MN}} = \frac{{AM}}{{BM}}\] suy ra \[\frac{{AI}}{{MN}} = \frac{{AM}}{{BM}} \Rightarrow BM = \frac{{MN.AM}}{{AI}} = \frac{{x.1000}}{{\sqrt {{x^2} - {{216}^2}} }}\]

Lúc này để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất, tức là \[AB\]có độ dài ngắn nhất .

Ta có \[AB = x + \frac{{1000x}}{{\sqrt {{x^2} - {{216}^2}} }}\]

Đặt \[a = \sqrt {{x^2} - {{216}^2}} \Rightarrow x = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} \], Khi đó

\[AB = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} + \frac{{1000\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} }}{a}\]

\[\,\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} = \sqrt {({a^2} + {{216}^2})\left( {\frac{{25}}{{34}} + \frac{9}{{34}}} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)}^2}} = \left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)\]

Do đó \[AB = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} + \frac{{1000\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} }}{a}\]s

\[\, \ge \left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right) + \frac{{1000}}{a}\left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)\]

\[ = \frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.5}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}\]

\[ \ge \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.5}}{{\sqrt {34} }} + 2\sqrt {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }}.\frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}} \approx 1586\] (m)

Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3a}}{{\sqrt {34} }} = \frac{{216.5}}{{\sqrt {34} }}.\\\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} = \frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}\end{array} \right.\] nên \[a = 360\]

Với \[a = 360 \Rightarrow x = \sqrt {{{360}^2} + {{216}^2}} = 72\sqrt {34} \]

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là \[S \approx \frac{{1586}}{{100}}.200 \approx 3,172\] (tỉ đồng).

Khi đó điểm \(A\) cách \(M\) một khoảng \[72\sqrt {34} \,\,m\]

0,25

0,25