(1,0 điểm) Nước cam là một loại đồ uống rất tốt cho sức khỏe vì chứa nhiều vi chất dinh dưỡng như vitamin C, folate và kali. Tại siêu thị có bán một loại cam sành (dạng hình cầu) có đường kính \[8{\rm{ cm}},\] vỏ dày 0, 3 cm. Mỗi quả ép nước được 88% thể tích của quả cam.

a) (0,5 điểm) Coi phần ruột của quả cam cũng có dạng hình cầu có cùng tâm với quả cam. Tính thể tích phần ruột của quả cam (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

b) (0,5 điểm) Bạn An cần chuẩn bị 6 ly nước ép cam cho cả gia đình. Nước ép cam sẽ đựng trong các ly thủy tinh giống nhau, phần lòng trong có dạng hình trụ chiều cao 15 cm và đường kính đáy lòng trong là 6 cm. Mỗi ly chứa được 70% thể tích. Hỏi An phải dùng bao nhiêu quả cam như trên thì có đủ nước ép cam đựng vào 6 ly.

Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc của xe tải và \(y\) (km/h) là vận tốc của xe khách (\(x,y > 0)\).

Vì mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km nên ta có: \(x - y = 15\;\left( 1 \right)\)

Đổi 1 giời 30 phút = \(\frac{3}{2}\) giờ, 40 phút = \(\frac{2}{3}\;\)giờ.

Thời gian xe khách đi được là: \(\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{13}}{6}\) giờ

0,25

Quãng đường xe khách đi được là \(\frac{{13}}{6}x\) (km).

Quãng đường xe tải đi được là \(\frac{2}{3}y\) (km).

Vì quãng đường Hà Nội đến Thanh Hóa dài 160 km nên: \(\frac{{13}}{6}x + \frac{2}{3}y = 160\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 15}\\{\frac{{13}}{6}x + \frac{2}{3}y = 160}\end{array}} \right.\) Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 60(tm)\\y = 45(tm)\end{array} \right.\)

0,25

0,25

Vậy vận tốc của xe khách là 60 km/h và vận tốc của xe tải là 45 km/h.

0,25

11

Cho phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức: \({x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\).

Xét phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)

Ta có: \(\Delta = 37 - 4m\)

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì điều kiện là:

\(\Delta \ge 0 \Rightarrow 37 - 4m \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{37}}{4}\) (*)

Với điều kiện (*), áp dụng định lí Viète cho phương trình (1), ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\;\;\;\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = m - 3\;\;\;(2)\end{array} \right.\]

Theo bài ra, ta có \(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\)     (3)

Từ (1) suy ra : \({x_2} = 5 - {x_1}\) thế vào (3) ta được :

\({x_1}^2 - 2{x_1}\left( {5 - {x_1}} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\)

\(3{x_1}^2 - 13{x_1} + 14 = 0\)

\(\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\)

\( \Rightarrow {x_1} = 2\) hoặc \({x_1} = \frac{7}{3}\)

Với \({x_1} = 2\) thì \({x_2} = 3\), thế vào (2) ta được: \(m = 9\) (thỏa mãn)

Với \({x_1} = \frac{7}{3}\) thì \({x_2} = \frac{8}{3}\), thế vào (2) ta được: \(m = \frac{{83}}{9}\) (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị của \(m\)thỏa mãn là: \(m = 9\) và \(m = \frac{{83}}{9}\).

0,25

0,25

0,25

0,25