(1,0 điểm) Nước cam là một loại đồ uống rất tốt cho sức khỏe vì chứa nhiều vi chất dinh dưỡng như vitamin C, folate và kali. Tại siêu thị có bán một loại cam sành (dạng hình cầu) có đường kính \[8{\rm{ cm}},\] vỏ dày 0, 3 cm. Mỗi quả ép nước được 88% thể tích của quả cam.

a) (0,5 điểm) Coi phần ruột của quả cam cũng có dạng hình cầu có cùng tâm với quả cam. Tính thể tích phần ruột của quả cam (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

b) (0,5 điểm) Bạn An cần chuẩn bị 6 ly nước ép cam cho cả gia đình. Nước ép cam sẽ đựng trong các ly thủy tinh giống nhau, phần lòng trong có dạng hình trụ chiều cao 15 cm và đường kính đáy lòng trong là 6 cm. Mỗi ly chứa được 70% thể tích. Hỏi An phải dùng bao nhiêu quả cam như trên thì có đủ nước ép cam đựng vào 6 ly.

Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc của xe tải và \(y\) (km/h) là vận tốc của xe khách (\(x,y > 0)\).

Vì mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km nên ta có: \(x - y = 15\;\left( 1 \right)\)

Đổi 1 giời 30 phút = \(\frac{3}{2}\) giờ, 40 phút = \(\frac{2}{3}\;\)giờ.

Thời gian xe khách đi được là: \(\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{13}}{6}\) giờ

0,25

Quãng đường xe khách đi được là \(\frac{{13}}{6}x\) (km).

Quãng đường xe tải đi được là \(\frac{2}{3}y\) (km).

Vì quãng đường Hà Nội đến Thanh Hóa dài 160 km nên: \(\frac{{13}}{6}x + \frac{2}{3}y = 160\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 15}\\{\frac{{13}}{6}x + \frac{2}{3}y = 160}\end{array}} \right.\) Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 60(tm)\\y = 45(tm)\end{array} \right.\)

0,25

0,25

Vậy vận tốc của xe khách là 60 km/h và vận tốc của xe tải là 45 km/h.

0,25

a)    Chứng minh bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

a) Vì \(AM \bot MC;CH \bot AB\) nên: \(\widehat {AMC} = 90^\circ ;\widehat {AHC} = 90^\circ \).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), ta có \(IA = IC = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 1 \right)\)

0,25

Trong tam giác \(MAC\) vuông tại \(M\) có \(MI\) là đường trung tuyến nên \(MI = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 2 \right)\)

Trong tam giác \(AHC\) vuông tại \(M\) có \(HI\) là đường trung tuyến nên \(HI = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 3 \right)\)

0,25

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\), ta có: \(IA = IC = IH = IM = \frac{1}{2}AC\).

0,25

Suy ra \(A,\,M,\,C,\,H\,\, \in \left( {I;\frac{{AC}}{2}} \right)\)

Vậy bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

0,25

b) Khi \(A,B\) cố định, chứng minh rằng : \(C{H^2} = AH.BH\)

Xét \(\Delta ACB\) có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB và

\(CO = \frac{1}{2}AB\) suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại C

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta CHB\) có

\(\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) (vì \(AH \bot AB\))

Xét tam giác vuông \(AHC\)có : \(\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = 90^\circ \)

\(\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CAH} = \widehat {HCB}\) (cùng phụ \[\widehat {ACH}\])

Suy ra: $\Delta AHC\backsim \Delta CHB(g.g)$

Do đó: \(\,\,\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HC}}{{HB}}\), suy ra: \(C{H^2} = AH.HB\)

0,25

0,25

c) Xác định vị trí của \(C\) trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) để \(AM.BN\) lớn nhất.

Vì \[AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\] suy ra \(AM\,{\rm{//}}\,OC\).

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\)

Ta có OA = OC suy ra \(\Delta OAC\) cân tại O

Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Xét \(\Delta AMC\) và  có

\(\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); AC là cạnh chung; \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AM = AH

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HB = NB

0,25

Suy ra \(AM.BN = AH.HB = C{H^2}\)

Ta có \(CH \le CO = R\)

\(\begin{array}{l}Suy\,ra\,\,AM.BN \le {R^2} \Rightarrow Min(AM.BN) = {R^2}\,\\Khi\,\,CH = CO \Rightarrow \Delta ACB\,vu\^o ng\,\,c\^a n\,\,tai\,C\end{array}\)

Khi đó C là điểm chính giữa cung AB

0,25