(1,0 điểm) Một chiếc xe khách đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa, quãng đường dài 160 km. Sau khi xe khách xuất phát được 1 giờ 30 phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Thanh Hóa về Hà Nội (trên cùng một tuyến đường với xe khách) và gặp xe khách sau 40 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15 km.

11

Cho phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức: \({x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\).

Xét phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)

Ta có: \(\Delta = 37 - 4m\)

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì điều kiện là:

\(\Delta \ge 0 \Rightarrow 37 - 4m \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{37}}{4}\) (*)

Với điều kiện (*), áp dụng định lí Viète cho phương trình (1), ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\;\;\;\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = m - 3\;\;\;(2)\end{array} \right.\]

Theo bài ra, ta có \(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\)     (3)

Từ (1) suy ra : \({x_2} = 5 - {x_1}\) thế vào (3) ta được :

\({x_1}^2 - 2{x_1}\left( {5 - {x_1}} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\)

\(3{x_1}^2 - 13{x_1} + 14 = 0\)

\(\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\)

\( \Rightarrow {x_1} = 2\) hoặc \({x_1} = \frac{7}{3}\)

Với \({x_1} = 2\) thì \({x_2} = 3\), thế vào (2) ta được: \(m = 9\) (thỏa mãn)

Với \({x_1} = \frac{7}{3}\) thì \({x_2} = \frac{8}{3}\), thế vào (2) ta được: \(m = \frac{{83}}{9}\) (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị của \(m\)thỏa mãn là: \(m = 9\) và \(m = \frac{{83}}{9}\).

0,25

0,25

0,25

0,25

a)    Chứng minh bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

a) Vì \(AM \bot MC;CH \bot AB\) nên: \(\widehat {AMC} = 90^\circ ;\widehat {AHC} = 90^\circ \).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), ta có \(IA = IC = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 1 \right)\)

0,25

Trong tam giác \(MAC\) vuông tại \(M\) có \(MI\) là đường trung tuyến nên \(MI = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 2 \right)\)

Trong tam giác \(AHC\) vuông tại \(M\) có \(HI\) là đường trung tuyến nên \(HI = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 3 \right)\)

0,25

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\), ta có: \(IA = IC = IH = IM = \frac{1}{2}AC\).

0,25

Suy ra \(A,\,M,\,C,\,H\,\, \in \left( {I;\frac{{AC}}{2}} \right)\)

Vậy bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

0,25

b) Khi \(A,B\) cố định, chứng minh rằng : \(C{H^2} = AH.BH\)

Xét \(\Delta ACB\) có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB và

\(CO = \frac{1}{2}AB\) suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại C

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta CHB\) có

\(\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) (vì \(AH \bot AB\))

Xét tam giác vuông \(AHC\)có : \(\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = 90^\circ \)

\(\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CAH} = \widehat {HCB}\) (cùng phụ \[\widehat {ACH}\])

Suy ra: $\Delta AHC\backsim \Delta CHB(g.g)$

Do đó: \(\,\,\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HC}}{{HB}}\), suy ra: \(C{H^2} = AH.HB\)

0,25

0,25

c) Xác định vị trí của \(C\) trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) để \(AM.BN\) lớn nhất.

Vì \[AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\] suy ra \(AM\,{\rm{//}}\,OC\).

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\)

Ta có OA = OC suy ra \(\Delta OAC\) cân tại O

Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Xét \(\Delta AMC\) và  có

\(\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); AC là cạnh chung; \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AM = AH

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HB = NB

0,25

Suy ra \(AM.BN = AH.HB = C{H^2}\)

Ta có \(CH \le CO = R\)

\(\begin{array}{l}Suy\,ra\,\,AM.BN \le {R^2} \Rightarrow Min(AM.BN) = {R^2}\,\\Khi\,\,CH = CO \Rightarrow \Delta ACB\,vu\^o ng\,\,c\^a n\,\,tai\,C\end{array}\)

Khi đó C là điểm chính giữa cung AB

0,25