(1,0 điểm). Một phân xưởng theo kế hoạch phải may \[900\] bộ quần áo trong một thời gian quy định, mỗi ngày phân xưởng may được số bộ quần áo là như nhau. Khi thực hiện, do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày phân xưởng may thêm được \[10\] bộ quần áo và hoàn thành kế hoạch trước \[3\] ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng may được bao nhiêu bộ quần áo?

a) Gọi \(F\) là trung điểm của \(AH\)

Xét \(\Delta AKH\)vuông tại \(K\) có \(KF\) là đường trung tuyến nên \(FA = FH = FK = \frac{1}{2}AH\,\left( 1 \right)\)

0,25

Tương tự ta chứng minh được: \(FA = FH = FI = \frac{1}{2}AH\,\left( 2 \right)\)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra: \(FA = FH = FI = FK = \frac{1}{2}AH\)

0,25

Do đó bốn điểm \(A,\,K,\,H,\,I\) cùng thuộc đường tròn tâm \(F\) đường kính  \(AH\) hay tứ giác \[AKHI\] nội tiếp được một đường tròn.

0,25

b) * Chứng minh: \(EA.EH = EK.EI\)

Xét \(\Delta EAK\)và \(\Delta EIH\) có:

\[\widehat {EAK} = \widehat {EIH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HK)

\[\widehat {AEK} = \widehat {IEH}\] (đối đỉnh)

Do đó \(\Delta EAK\)$\backsim$ \(\Delta EIH\) (g-g)

suy ra \(\frac{{EA}}{{EI}} = \frac{{EK}}{{EH}}\) hay \(EA.EH = EK.EI\)

 0,25

 0,25

* Chứng minh: \(AO \bot IK\)

Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(J\) là giao điểm của \(AD\) và \(KI\).

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AHK}\) (Vì cùng phụ với \(\widehat {HAK}\)) (1)

       \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) (2)

Vì tứ giác \[AKHI\]nội tiếp nên \(\widehat {AIK} = \widehat {AHK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\)) (3)

0,25

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {{\rm{AIJ}}} = \widehat {ADC}\) (4).

0,25

Ta có  \[\widehat {ACD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(C\), ta có: \[\widehat {ADC} + \widehat {CAD} = 90^\circ \] (5)

Từ \(\left( 4 \right),\,\left( 5 \right)\) suy ra \[\widehat {AIJ} + \widehat {IAJ} = 90^\circ \]

0,25

Xét \(\Delta {\rm{AIJ}}\) có: \[\widehat {AIJ} + \widehat {IAJ} = 90^\circ \] suy ra\[\widehat {AJI} = 90^\circ \]  hay \(AO \bot IK\).

0,25

c) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta ACD\)có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD}\left( { = 90^\circ } \right)\); \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\)(cmt)

Do đó: \(\Delta AHB\)$\backsim$\(\Delta ACD\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = \frac{{3{R^2}}}{{2R}} = \frac{{3R}}{2}\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{{3R}}{2}.BC = \frac{{3R}}{4}.BC\).

Do \(R\) không đổi nên \({S_{ABC}}\) lớn nhất khi \(BC\) lớn nhất hay \(BC\) là đường kính của đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right).\]

 0,25

0,25

a) Xét phương trình sau: \[{x^2} - 2x - 1 = 0.\]

Ta có  ${\Delta }^{\text{'}}={\left(-1\right)}^2-1.\left(-1\right)=1+1=2>0.$

0,25

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{1} = 1 - \sqrt 2 ,\,\,\,{x_2} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{1} = 1 + \sqrt 2 \]

0,5

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1 - \sqrt 2 ;\,\,1 + \sqrt 2 } \right\}.\]

0,25

b) Xét biểu thức \[P = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{2}{{x - 4}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\] với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4.\]

Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4.\]

Ta có :      \[P = \left[ {\frac{1}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{2}{{x - 4}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\]

\[P = \left[ {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\]

\[P = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}} \right].\left( {\sqrt x  - 2} \right)\]

0,25

\[P = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\]

Vậy \[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\,\,\,\,\,\,\left( {x \ge 0,\,x \ne 4} \right)\]

0,25