(0,5 điểm).

Một mặt bàn hình tròn có đường kính \(1,4\)m. Phủ một tấm khăn vải hình tròn lên mặt bàn hình tròn đó thì phần vải rủ xuống xung quanh có độ dài là \(30\)cm. Hỏi diện tích của khăn trải bàn là bao nhiêu m² ? (coi độ dày của mặt bàn không đáng kể và kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) Gọi \(F\) là trung điểm của \(AH\)

Xét \(\Delta AKH\)vuông tại \(K\) có \(KF\) là đường trung tuyến nên \(FA = FH = FK = \frac{1}{2}AH\,\left( 1 \right)\)

0,25

Tương tự ta chứng minh được: \(FA = FH = FI = \frac{1}{2}AH\,\left( 2 \right)\)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra: \(FA = FH = FI = FK = \frac{1}{2}AH\)

0,25

Do đó bốn điểm \(A,\,K,\,H,\,I\) cùng thuộc đường tròn tâm \(F\) đường kính  \(AH\) hay tứ giác \[AKHI\] nội tiếp được một đường tròn.

0,25

b) * Chứng minh: \(EA.EH = EK.EI\)

Xét \(\Delta EAK\)và \(\Delta EIH\) có:

\[\widehat {EAK} = \widehat {EIH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HK)

\[\widehat {AEK} = \widehat {IEH}\] (đối đỉnh)

Do đó \(\Delta EAK\)$\backsim$ \(\Delta EIH\) (g-g)

suy ra \(\frac{{EA}}{{EI}} = \frac{{EK}}{{EH}}\) hay \(EA.EH = EK.EI\)

 0,25

 0,25

* Chứng minh: \(AO \bot IK\)

Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(J\) là giao điểm của \(AD\) và \(KI\).

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AHK}\) (Vì cùng phụ với \(\widehat {HAK}\)) (1)

       \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) (2)

Vì tứ giác \[AKHI\]nội tiếp nên \(\widehat {AIK} = \widehat {AHK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\)) (3)

0,25

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {{\rm{AIJ}}} = \widehat {ADC}\) (4).

0,25

Ta có  \[\widehat {ACD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(C\), ta có: \[\widehat {ADC} + \widehat {CAD} = 90^\circ \] (5)

Từ \(\left( 4 \right),\,\left( 5 \right)\) suy ra \[\widehat {AIJ} + \widehat {IAJ} = 90^\circ \]

0,25

Xét \(\Delta {\rm{AIJ}}\) có: \[\widehat {AIJ} + \widehat {IAJ} = 90^\circ \] suy ra\[\widehat {AJI} = 90^\circ \]  hay \(AO \bot IK\).

0,25

c) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta ACD\)có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD}\left( { = 90^\circ } \right)\); \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\)(cmt)

Do đó: \(\Delta AHB\)$\backsim$\(\Delta ACD\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = \frac{{3{R^2}}}{{2R}} = \frac{{3R}}{2}\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{{3R}}{2}.BC = \frac{{3R}}{4}.BC\).

Do \(R\) không đổi nên \({S_{ABC}}\) lớn nhất khi \(BC\) lớn nhất hay \(BC\) là đường kính của đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right).\]

 0,25

0,25

Có \(30\) viên bi mà lấy ngẫu nhiên \(1\) viên nên số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 30\).

0,25

Các quả bóng màu xanh được đánh số từ \(1\) đến \(10\) có \(5\) số chẵn \(\left( {2;\,4;\,6;\,8;\,10} \right)\) nên \(n\left( A \right) = 5\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( \Omega  \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{5}{{30}} = \frac{1}{6}\).

0,25