Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\x - y = 6\end{array} \right.\] có nghiệm là

a) Gọi \(F\) là trung điểm của \(AH\)

Xét \(\Delta AKH\)vuông tại \(K\) có \(KF\) là đường trung tuyến nên \(FA = FH = FK = \frac{1}{2}AH\,\left( 1 \right)\)

0,25

Tương tự ta chứng minh được: \(FA = FH = FI = \frac{1}{2}AH\,\left( 2 \right)\)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra: \(FA = FH = FI = FK = \frac{1}{2}AH\)

0,25

Do đó bốn điểm \(A,\,K,\,H,\,I\) cùng thuộc đường tròn tâm \(F\) đường kính  \(AH\) hay tứ giác \[AKHI\] nội tiếp được một đường tròn.

0,25

b) * Chứng minh: \(EA.EH = EK.EI\)

Xét \(\Delta EAK\)và \(\Delta EIH\) có:

\[\widehat {EAK} = \widehat {EIH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HK)

\[\widehat {AEK} = \widehat {IEH}\] (đối đỉnh)

Do đó \(\Delta EAK\)$\backsim$ \(\Delta EIH\) (g-g)

suy ra \(\frac{{EA}}{{EI}} = \frac{{EK}}{{EH}}\) hay \(EA.EH = EK.EI\)

 0,25

 0,25

* Chứng minh: \(AO \bot IK\)

Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(J\) là giao điểm của \(AD\) và \(KI\).

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AHK}\) (Vì cùng phụ với \(\widehat {HAK}\)) (1)

       \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) (2)

Vì tứ giác \[AKHI\]nội tiếp nên \(\widehat {AIK} = \widehat {AHK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\)) (3)

0,25

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {{\rm{AIJ}}} = \widehat {ADC}\) (4).

0,25

Ta có  \[\widehat {ACD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(C\), ta có: \[\widehat {ADC} + \widehat {CAD} = 90^\circ \] (5)

Từ \(\left( 4 \right),\,\left( 5 \right)\) suy ra \[\widehat {AIJ} + \widehat {IAJ} = 90^\circ \]

0,25

Xét \(\Delta {\rm{AIJ}}\) có: \[\widehat {AIJ} + \widehat {IAJ} = 90^\circ \] suy ra\[\widehat {AJI} = 90^\circ \]  hay \(AO \bot IK\).

0,25

c) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta ACD\)có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD}\left( { = 90^\circ } \right)\); \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\)(cmt)

Do đó: \(\Delta AHB\)$\backsim$\(\Delta ACD\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = \frac{{3{R^2}}}{{2R}} = \frac{{3R}}{2}\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{{3R}}{2}.BC = \frac{{3R}}{4}.BC\).

Do \(R\) không đổi nên \({S_{ABC}}\) lớn nhất khi \(BC\) lớn nhất hay \(BC\) là đường kính của đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right).\]

 0,25

0,25

Gọi \(x\) là số bộ quần áo mà mỗi ngày phân xưởng làm được theo kế hoạch (đơn vị là bộ, \(x\) là số nguyên dương).

 Số ngày phân xưởng làm theo kế hoạch xong công việc là \(\frac{{900}}{x}\) (ngày).

0,25

Thực tế, mỗi ngày phân xưởng làm được \(x + 10\) bộ quần áo.

Số ngày thực tế phân xưởng hoàn thành xong công việc là \(\frac{{900}}{{x + 10}}\) (ngày).

0,25

Thực tế phân xưởng đã hoàn thành công việc trước 3 ngày so với kế hoạch, nên ta có phương trình \(\frac{{900}}{x} - \frac{{900}}{{x + 10}} = 3\)

0,25

\( \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 3000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50\\x =  - 60\end{array} \right.\)

So sánh với điều kiện ta được mỗi ngày phân xưởng may được 50 bộ quần áo.

0,25