(1,5 điểm).        

Cho nửa đường tròn \[\left( {O;R} \right)\], đường kính \(AB\). Trên nửa đường tròn \[\left( O \right)\]lấy một điểm \[D\] (\[D\]khác \[A\]và \[B\]). Tiếp tuyến của nửa đường tròn \[\left( O \right)\]tại \[A\] và \[D\] cắt nhau ở \[C\]. Gọi \[F\] là hình chiếu của \[D\] trên đoạn thẳng \[AB\]. Tia \[BC\] cắt nửa đường tròn \[\left( O \right)\]tại \[E\].

1) Chứng minh 4 điểm \[A,C,D,O\]cùng thuộc 1 đường tròn và \[A{E^2} = BE.EC\]

2) Gọi \[I\]  là trung điểm của \[DF\]. Chứng minh ba điểm \[B,I,C\]thẳng hàng.

Ý

Nội dung

Điểm

1.

(0,75đ)

Diện tích xung quanh hình trụ là \(2\pi .0,7.0,7 = 0,98\pi \,\,\left( {{m^2}} \right).\)

0,25

Độ dài đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{{0,9}^2} + {{0,7}^2}} = 1,14\,\,\left( m \right).\)

Diện tích xung quanh của hình nón là \[\pi .0,7.1,14 = 0,798\pi \,\,\left( {{m^2}} \right).\]

0,25

Diện tích mặt ngoài của dụng cụ là \[0,98\pi + 0,798\pi \, = 1,778\,\pi \,\left( {{m^2}} \right).\]

0,25

2

(0,75đ)

\(\Delta ABP\)vuông tại \[B\] nên \(BP = AB.\cot P = h.\cot 14^\circ = h.\tan 76^\circ \)

\(\Delta ABQ\)vuông tại \[B\] nên \(BQ = AB.\cot \widehat {AQB} = h.\cot 42^\circ = h.\tan 48^\circ \)

0,25

Ta có

\(PQ = PB - QB\)

\(PQ = h.\tan 76^\circ - h.\tan 48^\circ \)

\(300 = h.(\tan 76^\circ - \tan 48^\circ )\)

0,25

\(h = \frac{{300}}{{\tan 76^\circ - \tan 48^\circ }} \approx 103,4(m)\)

Vậy chiều cao của tháp Hải đăng khoảng 103,4 mét.

0,25

Ý

Nội dung

Điểm

1. a)

(0,25đ)

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \[A(2; - 4)\]nên ta có: \[ - 4 = (1 - a){.2^2}\]

hay \[a = 2\].Vậy \[a = 2\] là giá trị cần tìm.

0,25

1. b)

(0,5đ)

Thay \[a = 2\]vào hàm số \[y = (1 - a){x^2}\]ta được \[y = (1 - 2){x^2}\] hay \[y = - {x^2}\]

Hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng \[y = - 9\] là nghiệm của phương trình: \[ - {x^2} = - 9\] hay \[{x^2} = 9\]

Phương trình có 2 nghiệm \[{x_1} = 3,{x_2} = - 3\]

0,25

Với \[x = 3\] ta có \[y = - 9\]

Với \[x = - 3\]ta có \[y = - 9\]

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \[(3; - 9);( - 3; - 9)\]

0,25

2

(0,75đ)

Vì phương trình \(3{x^2} - 4x - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng theo định lí Viet ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{4}{3}\) và \({x_1}{x_2} = \frac{{ - 2}}{3}\)

0,25

Vì \({x_1}\) là một nghiệm của phương trình \(3{x^2} - 4x - 2 = 0\) nên ta có:

\(3x_1^2 - 4{x_1} - 2 = 0\)hay \(3\left( {x_1^2 - {x_1} - 2} \right) = {x_1} - 4\)

0,25

\(A = \left( {x_1^2 - {x_1} - 2} \right)\left( {3{x_2} - 12} \right)\)

      \( = 3\left( {x_1^2 - {x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 4} \right)\)

      \(\begin{array}{l} = \left( {{x_1} - 4} \right)\left( {{x_2} - 4} \right)\\ = {x_1}{x_2} - 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 16\\ = \frac{{ - 2}}{3} - 4.\frac{4}{3} + 16 = 10\end{array}\)

0,25