(2,0 điểm)

1. Nón lá là một vật dụng cần thiết và hữu ích trong cuộc sống hàng ngày của người dân Việt Nam. Mỗi chiếc nón lá có dạng một hình nón. Cứ \[1\,kg\] lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là \[6,13 {m^2}\]. Hỏi muốn làm ra \(1600\) chiếc nón lá giống nhau có đường kính vành nón \(50cm\), chiều cao \(30cm\) thì cần bao nhiêu kg lá. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

 

           2. Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\[AB < AC\]) nội tiếp đường tròn \[\left( {O;R} \right),\] ba đường cao \(AD,\,BE,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.

b) Vẽ đường kính \(AK\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(AB.AC = AK.AD\).

           c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AK\) và \(EF\). Chứng minh \(\widehat {AHI} = \widehat {AKD}\).

1. Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy

\(R = \frac{{50}}{2} = 25cm = 0,25m\)  ; chiều cao \(h = 30cm = 0,3m\)

Độ dài đường sinh hình nón là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \sqrt {{{0,25}^2} + {{0,3}^2}}  = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}m\)

Diện tích xung quanh hình nón là \({S_1} = \pi Rl = \pi 0,25.\frac{{\sqrt {61} }}{{20}} = \pi \frac{{\sqrt {61} }}{{80}}{m^2}\)

0,25

Tổng diện tích xung quanh của \(1600\) chiếc nón lá là:\(S = 1600{S_1} = 1600.\pi \frac{{\sqrt {61} }}{{80}} = 20\pi \sqrt {61} {m^2}\)

Do đó khối lượng lá cần dùng là: \(\frac{S}{{6,13}} = \frac{{20\pi \sqrt {61} }}{{6,13}} \approx 80kg\)

0,25

2.

a) Vì \(CF\) là đường cao nên \(CF \bot AB\)

Suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\)

Do đó 3 điểm \(B,F,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) (1)

0,25

Vì \(BE\) là đường cao nên \(BE \bot AC\)

Suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\)

Do đó 3 điểm \(B,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) (2)

Từ (1) và (2) tứ giác \(BFEC\) nội tiếp.

0,25

b) Có \(A,\,B,\,C,K \in \) \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

Vì \(\widehat {ACK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \[AK\] nên \(\widehat {ACK} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AKC\) có \(\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\) (cmt); \(\widehat {ADB} = \widehat {ACK} = 90^\circ \).

Suy ra \(\Delta ABD\) $\backsim \Delta AKC(g-g)$

0,25

suy ra \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AD}}{{AC}}\)  suy ra \(AB.AC = AK.AD\).

0,25

c) Có \(\widehat {AEI} = \widehat {ABD}\)( cùng bù \(\widehat {FEC}\))

mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)(\(\Delta ABD\)

Nên  \(\widehat {AEI} + \widehat {{A_2}} = \widehat {ABD} + \widehat {{A_1}} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AIE} = 90^\circ \)

Do đó \(AK \bot EF\)

0,25

 Xét \(\Delta AEI\)và \(\Delta AKC\)có  \[\widehat {AIE} = \widehat {ACK}\,\,( = 90^\circ )\] và \[\widehat {{A_2}}\] chung

nên \(\Delta AEI\) $\backsim \Delta AKC(g-g)$

suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AK}}\)  suy ra \(AI.AK = AE.AC\)(3)

Xét \(\Delta AEH\)và \(\Delta ADC\)có \[\widehat {AEH} = \widehat {ADC}\,\,( = 90^\circ )\] và \[\widehat {DAC}\]chung

nên \(\Delta AEH\) $\backsim \Delta ADC(g-g)$

suy ra \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}}\) suy ra \(AH.AD = AE.AC\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AI.AK = AH.AD\)

Xét \(\Delta AHI\)và \(\Delta AKD\)có \[\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{AI}}{{AD}}\]( Vì \(AI.AK = AH.AD\)) và \[\widehat {DAK}\]chung

nên \(\Delta AHI\) $\backsim \Delta AKD(c-g-c)$

Suy ra \(\widehat {AHI} = \widehat {AKD}\)

0,25