(1,5 điểm).

a) Tìm tọa độ điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^2}\) có tung độ bằng 3 và nằm ở bên trái trục tung.

b) Cho phương trình \({x^2} + x - 2 = 0\) với \({x_1} > {x_2}.\) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(M = 3\left| {{x_1}} \right| - 4\left| {{x_2}} \right| + \sqrt { - 3{x_2} + 3} \).

Ý

Nội dung

Điểm

a)

(0,5 điểm)

Ta có \(\widehat {BOC} = 90^\circ \) nên \(\Delta BOC\) vuông tại \(O\) suy ra \(B,O,C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vì \(\widehat {BHC} = 90^\circ \) nên \(\Delta BHC\) vuông tại \(H\) suy ra \(B,H,C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

0,25

Suy ra \(B,O,C,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(BOCH\) là tứ giác nội tiếp.

0,25

b)

(1,0 điểm)

Ta có \(\widehat {CHO} = \widehat {CBO}\) (góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{CO}$)

\(\widehat {OCB} = \widehat {OHB}\) (góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{OB}$)

0,25

\(\widehat {OCB} = \widehat {CBO}\) (\(\Delta COB\) cân tại \(O\))

Suy ra \(\widehat {CHO} = \widehat {OHB}\), chứng tỏ \(HE\) là phân giác của \(\widehat {BHC}\)

Từ \(HE\) là phân giác của \(\widehat {BHC}\) nên \(\frac{{CE}}{{EB}} = \frac{{CH}}{{HB}}\)

0,25

\(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) nên \(\widehat {CMH} = \widehat {BCH}\) (cùng phụ \(\widehat {HCM}\)) suy ra \(\Delta MCH\) đồng dạng với \(\Delta CBH\) (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{BH}} = \frac{{MH}}{{CH}}\)

0,25

Suy ra \(\frac{{CE}}{{EB}} = \)\(\frac{{MH}}{{CH}}\) hay \(CE.CH = BE.MH\)

0,25

Ý

Nội dung

Điểm

(1,0 điểm)

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn thứ tự là \(x;y(m,x,y > 0)\)

0,25

Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên \(x = 2y\)

Diện tích khu vườn là \(xy\,\,({m^2})\)

0,25

Nếu tăng chiều rộng thêm \(15m\) và giảm chiều dài \(5m\) thì diện tích khu vườn là

\((x - 5)(y + 15)\,\,({m^2})\)

Theo bài ra ta có \((x - 5)(y + 15) - xy = 550\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\(x - 5)(y + 15) - xy = 550\end{array} \right.\)

0,25

Giải hệ phương trình trên tìm được \(x = 25;y = 50\) (thỏa mãn điều kiện)

Diện tích khu vườn là \(25.50 = 1250\,({m^2})\)

0,25