(1,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm \(15m\) và giảm chiều dài \(5m\) thì diện tích khu vườn tăng thêm \(550{m^2}\). Tính diện tích ban đầu của khu vườn này?

Ý

Nội dung

Điểm

a)

(0,5 điểm)

Ta có \(\widehat {BOC} = 90^\circ \) nên \(\Delta BOC\) vuông tại \(O\) suy ra \(B,O,C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vì \(\widehat {BHC} = 90^\circ \) nên \(\Delta BHC\) vuông tại \(H\) suy ra \(B,H,C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

0,25

Suy ra \(B,O,C,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(BOCH\) là tứ giác nội tiếp.

0,25

b)

(1,0 điểm)

Ta có \(\widehat {CHO} = \widehat {CBO}\) (góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{CO}$)

\(\widehat {OCB} = \widehat {OHB}\) (góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{OB}$)

0,25

\(\widehat {OCB} = \widehat {CBO}\) (\(\Delta COB\) cân tại \(O\))

Suy ra \(\widehat {CHO} = \widehat {OHB}\), chứng tỏ \(HE\) là phân giác của \(\widehat {BHC}\)

Từ \(HE\) là phân giác của \(\widehat {BHC}\) nên \(\frac{{CE}}{{EB}} = \frac{{CH}}{{HB}}\)

0,25

\(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) nên \(\widehat {CMH} = \widehat {BCH}\) (cùng phụ \(\widehat {HCM}\)) suy ra \(\Delta MCH\) đồng dạng với \(\Delta CBH\) (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{BH}} = \frac{{MH}}{{CH}}\)

0,25

Suy ra \(\frac{{CE}}{{EB}} = \)\(\frac{{MH}}{{CH}}\) hay \(CE.CH = BE.MH\)

0,25

Ý

Nội dung

Điểm

a

(0,75 điểm)

Đổi \(5{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,05{\rm{ m}}\), \(23{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,23{\rm{ m}}\).

Diện tích tường được sơn khi lăn cây lăn sơn 1 vòng bằng diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính \(0,05{\rm{ m}}\) và chiều cao \(0,23{\rm{ m}}\).

Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

\({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .0,05.0,23 = 0,023\pi \)\(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)

0,25

Diện tích tường sơn được sau khi cây sơn lăn đủ 500 vòng là \(500 \times {S_{xq}} = 11,5\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right) = 36,11\,({m^2})\).

0,5

b

(0,75 điểm)

Mô hình hóa như hình vẽ bên, tia \(Ix\) là phương ngang, tia \(Py//Ix.\)

Ta có \(\widehat {OPQ} = \widehat {OPy} - \widehat {QPy} = 62^\circ  - 35^\circ  = 27^\circ .\)

Tương tự tính được \(\widehat {OQz} = 77^\circ  - 35^\circ  = 42^\circ .\)

0,25

Kẻ \(OH\) vuông góc với \(PQ\) tại \(H.\)

Xét tam giác \(OQH\) vuông tại \(H\) có \(OH = QH.\tan \widehat {OQH} = \left( {PH - PQ} \right).\tan \widehat {OQH}\)

Xét tam giác \(OPH\) vuông tại \(H\) có \(OH = PH.\tan \widehat {OPH}\)

Suy ra \(\left( {PH - PQ} \right).\tan \widehat {OQH} = PH.\tan \widehat {OPH}\) nên \(PH = \frac{{PQ.\tan \widehat {OQH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}}\)

Suy ra \(IH = IP + PH = 70 + \frac{{65.\tan \widehat {OQH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}} = 70 + \frac{{65.\tan 42^\circ }}{{\tan 42^\circ  - \tan 27^\circ }}\) và \[OH = \frac{{PQ.\tan \widehat {OQH}.\tan \widehat {OPH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}} = \frac{{65.\tan 42^\circ .\tan 27^\circ }}{{\tan 42^\circ  - \tan 27^\circ }}\]

0,25

Xét tam giác \(OIH\) vuông tại \(H\) có \(OI = \sqrt {O{H^2} + I{H^2}}  \approx 232,6\left( m \right)\) hay \(OI \approx 0,2326\left( {km} \right)\)

Thời gian khinh khí cầu bay được là \(t = \frac{{OI}}{3} \approx 0,078\left( h \right)\) hay xấp xỉ 5 phút.

0,25