(1,5 điểm).

a) Một cây lăn sơn tường có dạng một khối trụ với bán kính đáy là \(5{\rm{ cm}}\) và chiều cao là \(23{\rm{ cm}}\)(hình vẽ bên). Hỏi sau khi lăn đủ 500 vòng thì diện tích tường đã được sơn là bao nhiêu \({m^2}\)? (Cho \(\pi = 3,14\)).

b) Một khinh khí cầu bay từ mặt đất (điểm \(I\)) dọc theo sườn đồi với vận tốc không đổi là \(3km/h\), sườn đồi nghiêng \(35^\circ \) so với phương ngang. Tại một thời điểm, hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm \(P\) và \(Q\) nằm trên sườn đồi và cách nhau \(65m\), các điểm \(P,Q\) và \(I\) thẳng hàng, đồng thời \(P\) cách \(I\) một khoảng là \(70m\) (như hình vẽ). Người quan sát tại \(P\) xác định góc nâng của khinh khí cầu (góc giữa phương ngang và phương \(PO)\) là \(62^\circ \). Cùng lúc đó, người quan sát tại \(Q\)  xác định góc nâng của khinh khí cầu đó (góc giữa phương ngang và phương \(QO)\) là \(77^\circ .\) Tính thời gian từ lúc khinh khí cầu xuất phát đến khi hai người tại vị trí \(P,Q\) quan sát (làm tròn đến đơn vị phút).

Ý

Nội dung

Điểm

a

(0,75 điểm)

Đổi \(5{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,05{\rm{ m}}\), \(23{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,23{\rm{ m}}\).

Diện tích tường được sơn khi lăn cây lăn sơn 1 vòng bằng diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính \(0,05{\rm{ m}}\) và chiều cao \(0,23{\rm{ m}}\).

Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

\({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .0,05.0,23 = 0,023\pi \)\(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)

0,25

Diện tích tường sơn được sau khi cây sơn lăn đủ 500 vòng là \(500 \times {S_{xq}} = 11,5\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right) = 36,11\,({m^2})\).

0,5

b

(0,75 điểm)

Mô hình hóa như hình vẽ bên, tia \(Ix\) là phương ngang, tia \(Py//Ix.\)

Ta có \(\widehat {OPQ} = \widehat {OPy} - \widehat {QPy} = 62^\circ  - 35^\circ  = 27^\circ .\)

Tương tự tính được \(\widehat {OQz} = 77^\circ  - 35^\circ  = 42^\circ .\)

0,25

Kẻ \(OH\) vuông góc với \(PQ\) tại \(H.\)

Xét tam giác \(OQH\) vuông tại \(H\) có \(OH = QH.\tan \widehat {OQH} = \left( {PH - PQ} \right).\tan \widehat {OQH}\)

Xét tam giác \(OPH\) vuông tại \(H\) có \(OH = PH.\tan \widehat {OPH}\)

Suy ra \(\left( {PH - PQ} \right).\tan \widehat {OQH} = PH.\tan \widehat {OPH}\) nên \(PH = \frac{{PQ.\tan \widehat {OQH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}}\)

Suy ra \(IH = IP + PH = 70 + \frac{{65.\tan \widehat {OQH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}} = 70 + \frac{{65.\tan 42^\circ }}{{\tan 42^\circ  - \tan 27^\circ }}\) và \[OH = \frac{{PQ.\tan \widehat {OQH}.\tan \widehat {OPH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}} = \frac{{65.\tan 42^\circ .\tan 27^\circ }}{{\tan 42^\circ  - \tan 27^\circ }}\]

0,25

Xét tam giác \(OIH\) vuông tại \(H\) có \(OI = \sqrt {O{H^2} + I{H^2}}  \approx 232,6\left( m \right)\) hay \(OI \approx 0,2326\left( {km} \right)\)

Thời gian khinh khí cầu bay được là \(t = \frac{{OI}}{3} \approx 0,078\left( h \right)\) hay xấp xỉ 5 phút.

0,25