(3,0 điểm).

Cho đường tròn tâm O và điểm \(A\)nằm ngoài đường tròn, từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đương tròn \(\left( {M,N} \right.\) là các tiếp điểm). Lấy điểm K thuộc cung nhỏ \(MN,\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn \(\left( O \right)\)tại K cắt \(AM,AN\)theo thứ tự tại \(E,F\). Gọi giao điểm của \(OE,OF\) với \(MN\) theo thứ tự là P và \(Q\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(\widehat {EOF} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\) và \(ME.OF = OE.MP\).

c) \(OK,EQ,FP\) đồng quy.

a) 1,5 đ

Hình vẽ

Chứng minh rằng : tứ giác \(AMON\)là tứ giác nội tiếp

Vì \(AM,AN\) là 2 tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\Delta AMO\) và \(\Delta ANO\) nội tiếp đường tròn đường kính AO.

Suy ra tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp.

b) 1,0 đ

Chứng minh rằng: \(\widehat {EOF} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\)

Vì \(EM,EK\)là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(OE\) là phân giác của \(\widehat {KOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {EOK} = \frac{1}{2}\widehat {KOM}\)

\(FN,FK\)là tiếp tuyến của (O) nên \[OF\]là phân giác của \(\widehat {KON}\) tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {FOK} = \frac{1}{2}\widehat {KON}\).

Ta có \(\widehat {MON} = \widehat {KOM} + \widehat {KON}\)

\[\frac{1}{2}\widehat {MON} = \frac{1}{2}\widehat {KOM} + \frac{1}{2}\widehat {KON}\]

\[\frac{1}{2}\widehat {MON} = \widehat {EOK} + \widehat {FOK}\, = \widehat {EOF}\]

Chứng minh rằng: \(ME.OF = OE.MP\)

Vì \(AM,AN\)là 2 tiếp tuyến của (O) ta c/m được : \(AO \bot MN\)

Suy ra \(\widehat {EMN} = \widehat {AOM} = 90^\circ - \widehat {OMN}\) mà \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\) nên \[\widehat {EMN} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\]

Mà \(\widehat {EOF} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)nên \(\widehat {EMN} = \widehat {EOF}\) hay \(\widehat {EMP} = \widehat {EOF}\)

Vì \(EM,EK\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(EO\) là phân giác của \(\widehat {KEM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {MEO} = \widehat {KEO}\) hay \(\widehat {MEP} = \widehat {FEO}\)

Xét \(\Delta MEP\) và \(\Delta OEF\) có:

\[\widehat {EMP} = \widehat {EOF}\,\,{\rm{(cmt)}}\,;\,\,\widehat {MEP} = \widehat {FEO}\,\,{\rm{(cmt)}}\]

Suy ra $\Delta MEP\backsim \Delta OEF$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{ME}}{{OE}} = \frac{{MP}}{{OF}}\) (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Suy ra \(ME.OF = OE.MP\) (đpcm).

c) 0,5 đ

Chứng minh rằng \(OK,EQ,FP\) đồng quy

Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.

Vẽ đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B, C.

Gọi \[D'\] là giao điểm của AD và (O).

Khi đó tứ giác \[ABCD'\] nội tiếp đường tròn (O).

Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {AD'C} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (gt)

Suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {AD'C}\)

Suy ra D trùng \[D'\] hay \(D \in (O)\)

Mà tứ giác \[ABCD'\] nội tiếp đường tròn (O).

Suy ra: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Chứng minh tương tự: Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc thì tứ giác đó nội tiếp.

Áp dụng bổ đề trên ta có:

Chứng minh tứ giác \(EMOQ\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {EMO} + \widehat {EQO} = 180^\circ \) mà \[\widehat {EMO} = 90^\circ \,\,{\rm{suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\widehat {EQO} = 90^\circ \,\,{\rm{hay}}\,\,EQ \bot FO\].

Vì \(EM,EK\) là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(EM = EK\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì $\Delta MEP\backsim \Delta OEF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cmt)\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}suy\hspace{0.17em}ra\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{ME}{OE}=\frac{EP}{EF}$ do đó \(\frac{{KE}}{{OE}} = \frac{{EP}}{{EF}}\)

Xét \(\Delta KEP\) và \(\Delta OEF\)có \(\widehat {FEO}\,\,{\rm{chung}},\,\,\frac{{KE}}{{OE}} = \frac{{EP}}{{EF}}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

Do đó $\Delta KEP\backsim \Delta OEF\text{(c.g.c)}$

Suy ra \(\widehat {EKP} = \widehat {EOF}\) (hai góc tương ứng)

Tứ giác \(KFOP\) có \(\widehat {EKP} = \widehat {EOF}\,\,{\rm{(cmt)}}\) mà hai góc này cùng bù với \(\widehat {PKF}\).

Suy ra tứ giác \(KFOP\) là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\widehat {FKO} = \widehat {FPO}\) (cùng chắn cung \(OF)\)

Mà \(\widehat {FKO} = 90^\circ \,\,(KF\) là tiếp tuyến của (O)) suy ra \[\widehat {FPO} = 90^\circ \] hay \[FP \bot EO\].

Tam giác \(OEF\)có: \(OK \bot EF\)(EF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K)

\(EQ \bot FO\,\,{\rm{(cmt)}},\,\,FP \bot EO\,\,{\rm{(cmt)}}\)

Suy ra \(OK,\,\,EQ,\,\,FP\) lần lượt là các đường cao của \(\Delta OEF\,\,\)

Do đó \(OK,\,\,EQ,\,\,FP\) đồng quy (đpcm)