(1,0 điểm)
Từ một khúc gỗ hình trụ cao \(15\,{\rm{cm}}\), người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất có chiều cao và bán kính đáy bằng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(640\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ.
b) Tính diện tích xung quanh hình nón.
Từ một khúc gỗ hình trụ cao \(15\,{\rm{cm}}\), người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất có chiều cao và bán kính đáy bằng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(640\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ.
b) Tính diện tích xung quanh hình nón.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Gọi bán kính của khúc gỗ hình trụ ban đầu là: \(R\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (\(R > 0\))
Thể tích hình trụ ban đầu là: \({V_1} = \pi {R^2}\,\, \cdot \,\,h = 15\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
Hình nón có thể tích lớn nhất nên hình nón có \(1\) đáy là đáy của hình trụ ban đầu và chiều cao là chiều cao hình trụ.
Thể tích hình nón là:
\({V_2} = \frac{1}{3}\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\,\, \cdot \,\,h = \frac{1}{3}\pi \,\, \cdot \,\,{R^2}\,\, \cdot \,\,15 = 5\pi {R^2}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
Vì phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(640\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên:
\({V_1} - {V_2} = 640\pi \)
\(10\pi {R^2} = 640\pi \)
\({R^2} = 64\)
\(R = 8\;({\rm{cm}})\)
\({V_1} = 15\pi {R^2} = 960\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
Vậy thể tích khúc gỗ hình trụ là \(960\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\)
b) Gọi đường sinh của hình nón là \(l{\rm{ }}({\rm{cm}})\)
Ta có \({l^2} = {R^2} + {h^2} = {8^2} + {15^2} = 289\)
\(l = 17\;({\rm{cm}})\)
\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi \,\, \cdot \,\,8\,\, \cdot \,\,17 = 136\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\)
Diện tích xung quanh hình nón là: \(136\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích \(1000\,c{m^3}\).Muốn chi phí nguyên liệu làm vỏ thùng ít nhất tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính nắp đậy là bao nhiêu?
Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích \(1000\,c{m^3}\).Muốn chi phí nguyên liệu làm vỏ thùng ít nhất tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính nắp đậy là bao nhiêu?
Giải bởi Vietjack
Gọi \(r\)là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của thùng sơn đã cho.
Theo giả thiết, thùng sơn có dung tích \(1000\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có \(V = 1000 \Leftrightarrow \pi \,.\,\,{R^2}\,.\,h = 1000\)
Diện tích toàn phần của thùng sơn có nắp đậy là \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\({S_{tp}} = \pi (2{{\rm{r}}^2} + rh + rh) \ge \pi .\,\,3.\,\,\sqrt[3]{{2{{\rm{r}}^2}.\,\,rh\,.\,\,rh}} = 3\pi \sqrt[3]{{2{{\rm{r}}^4}.\,\,{h^2}}} = 3\pi \,.\,\,\sqrt[3]{{2\,.\,\,{{\left( {\frac{{1000}}{\pi }} \right)}^2}}}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(2{{\rm{r}}^2} = rh \Rightarrow h = 2{\rm{r}}\)
Mà \({r^2}h = \frac{{1000}}{\pi }\)
\(2{r^3} = \frac{{1000}}{\pi }\)
\(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)
Vậy để diện tích toàn phần của thùng sơn nhỏ nhất thìHot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
|
Vẽ hình đến câu a) |
|
a |
Ta có \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) (vì CF là đường cao), nên điểm F thuộc đường tròn đường kính BC (1) Ta có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) (vì BE là đường cao), nên điểm E thuộc đường tròn đường kính BC (2) Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính BC Vậy tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC |
|
|
b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và EF, I là giao điểm của AK và (O). Chứng minh: \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\) và . |
|
b |
Vì tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\)( cùng bù với góc BFE ) Mà \(\widehat {AIB} = \widehat {ACB}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của (O)) Vậy \(\widehat {AFE} = \widehat {AIB}\) Chứng minh được hai tam giác AEF và ABC đồng dạng, Mà K, M là trung điểm của EF và BC. Chứng minh được hai tam giác AKF và AMC đồng dạng , suy ra \(\widehat {FAK} = \widehat {CAM}\) Từ đó chứng minh được (gg) |
|
|
c) Gọi N là giao điểm của \[AM\] và EF. Kẻ ND vuông góc với BC tại D. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt \[BC\] tại Q. Chứng minh \(QB.DC = QC.DB\). |
|
c |
Tứ giác \(BFEC\)nội tiếp đường tròn tâm M nên \(ME = MF\), dẫn đến \(MK \bot EF\). Do đó tứ giác \(NKDM\)nội tiếp, suy ra \(\widehat {DKN} = 180^\circ - \widehat {DMN} = 180^\circ - \widehat {AMB} = 180^\circ - \widehat {AKE}\) Vậy \(A,K,D\)thẳng hàng Ta có do đó : \(\frac{{BI}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AM}};\,\frac{{CI}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AM}}\), Từ đây ta suy ra \(\frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{AB}}{{AC}}\left( 3 \right)\) Lại có nên \(\frac{{DB}}{{BI}} = \frac{{AD}}{{AC}}\,\,\& \frac{{DC}}{{CI}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) Kết hợp với (3) ta suy ra \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}(4)\) Mặt khác ta có hai tam giác \(QAB\)và \(QCA\)đồng dạng nên \(\frac{{QA}}{{QC}} = \frac{{QB}}{{QA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). Từ đó suy ra \(\frac{{QB}}{{QC}} = \frac{{QA}}{{QC}}.\frac{{QB}}{{QA}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\left( 5 \right)\) Từ (4) và (5) ta thu được \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{QB}}{{QC}}\,hay\,\,QB.DC = QC.DB\) |
Lời giải
Gọi giá tiền của một cái áo và một cái quần theo giá niêm yết lần lượt là \(x\), \(y\)(nghìn đồng) \((0 < x,y < 1950)\)
Vì tổng số tiền phải trả để mua \(3\) cái áo và \(2\) cái quần theo giá niêm yết là \[1\,\,950\,\,000\] đồng nên ta có phương trình: \(3x + 2y = 1950\) \(\left( 1 \right)\)
Giá một chiếc áo sau khi tăng thêm \(10\% \) là: \(x + 10\% x = 1,1x\) (nghìn đồng)
Giá một chiếc quần sau khi giảm đi \(20\% \) là: \(y - 20\% y = 0,8y\) (nghìn đồng)
Vì chị Thơ phải trả số tiền là \[1\,\,875\,\,000\] đồng khi mua \(3\) cái áo và \(2\) cái quần nên ta có:\(3.1,1x + 2.0,8y = 1875\) hay \(3,3x + 1,6y = 1875\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 1950}\\{3,3x + 1,6y = 1875}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)
Giải hệ pt ta được
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 350}\\{y = 450}\end{array}} \right.\) (tmđk)
Vậy giá tiền niêm yết của một cái áo là \[350\] nghìn đồng,giá niêm yết của một cái quần là \[450\]nghìn đồng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập