Hệ thống gồm các vật như sau được gọi là máng \[n\].

- Một máng nghiêng có \[n\] lỗ dọc theo đáy. Tính từ trên cao xuống, các lỗ lần lượt có đường kính là \(1,2,3...n\).

- \[n\] quả bóng có đường kính là các số nguyên dương không lớn hơn \[n\], trong đó có thể có nhiều quả bóng có cùng đường kính.

(hình vẽ dưới đây mô tả máng 4)

 

Xét máng \(n\), thả lăn \(n\) quả bóng từ đỉnh máng xuống, lần lượt từng quả. Đối với mỗi quả bóng, khi lăn đến lỗ có đường kính lớn hơn hoặc bằng đường kính của nó thì sẽ lọt vào đồng thời đóng lỗ này lại. Đối với một thứ tự các quả bóng sau khi thả lăn, nếu các quả bóng đều lọt vào lỗ thì thứ tự các quả bóng ấy được gọi là dãy đẹp.

Hai dãy đẹp giống nhau khi và chỉ khi thứ tự bán kính của bóng lọt lỗ là như nhau. Có thể tạo được bao nhiêu dãy đẹp khác nhau đối với máng 5 biết rằng có đúng một quả có đường kính là 4 và một quả có đường kính là 5?

Đáp án: 320.

Gọi đường kính của các quả bóng được thả vào máng 5 theo thứ tự không giảm là

\({d_1} \le {d_2} \le {d_3} \le {d_4} \le {d_5}\).

Do có đúng một quả bóng có đường kính bằng 4 và đúng một quả bóng có đường kính bằng 5 và đường kính các lỗ trong máng 5 là \(1,2,3,4,5\) nên\({d_4} = 4;{d_5} = 5\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1} \le {d_2} \le {d_3} \le 3\\{d_1} \le 1\\{d_2} \le 2\end{array} \right.\).

Nên các bộ \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right)\) lần lượt là \(\left\{ {\left( {1;1;1} \right),\left\{ {1;1;2} \right\};\left\{ {1;1;3} \right\},\left\{ {1;2;2} \right\};\left\{ {1;2;3} \right\}} \right\}\).

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;1;1;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(\frac{{5!}}{{3!}} = 20\) dãy.

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;1;2} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;1;2;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(\frac{{5!}}{{2!}} = 60\) dãy.

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;1;3} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;1;3;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(\frac{{5!}}{{2!}} = 60\) dãy.

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;2;2} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;2;2;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(\frac{{5!}}{{2!}} = 60\) dãy.

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;2;3} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;2;3;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(5! = 120\) dãy.

Vậy số dãy đẹp của máng 5 là \(20 + 60.3 + 120 = 320\).