PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Một thông tin nóng hổi bắt đầu lan truyền trong một cộng đồng gồm \[20\] nghìn người. Gọi \[P\left( t \right)\] là số lượng người đã biết thông tin này sau \[t\] giờ. Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\], có \[2\] nghìn người biết tin. Sau \[2\] giờ, số người biết tin tăng lên thành \[8\] nghìn người. Tốc độ lan truyền tin tức \[P'\left( t \right)\] (nghìn người/giờ) tỉ lệ thuận với tích của số người đã biết tin và số người chưa biết tin, thỏa mãn đẳng thức \[P'\left( t \right) = \frac{r}{{20}}P\left( t \right)\left[ {20 - P\left( t \right)} \right]\] (với \[r > 0\] là hệ số lan truyền).Đặt \[Q\left( t \right) = \frac{1}{{P\left( t \right)}} - \frac{1}{{20}}\].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Một thông tin nóng hổi bắt đầu lan truyền trong một cộng đồng gồm \[20\] nghìn người. Gọi \[P\left( t \right)\] là số lượng người đã biết thông tin này sau \[t\] giờ. Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\], có \[2\] nghìn người biết tin. Sau \[2\] giờ, số người biết tin tăng lên thành \[8\] nghìn người. Tốc độ lan truyền tin tức \[P'\left( t \right)\] (nghìn người/giờ) tỉ lệ thuận với tích của số người đã biết tin và số người chưa biết tin, thỏa mãn đẳng thức \[P'\left( t \right) = \frac{r}{{20}}P\left( t \right)\left[ {20 - P\left( t \right)} \right]\] (với \[r > 0\] là hệ số lan truyền).Đặt \[Q\left( t \right) = \frac{1}{{P\left( t \right)}} - \frac{1}{{20}}\].Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Sai. (thiếu dấu trừ)
\[Q'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{{P\left( t \right)}}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{1}{{20}}} \right)^\prime } = - \frac{{P'\left( t \right)}}{{{{\left[ {P\left( t \right)} \right]}^2}}}\].
b) Đúng.
Thay \[P'\left( t \right) = \frac{r}{{20}}P\left( t \right)\left[ {20 - P\left( t \right)} \right]\] vào \[Q'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{{P\left( t \right)}}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{1}{{20}}} \right)^\prime } = - \frac{{P'\left( t \right)}}{{{{\left[ {P\left( t \right)} \right]}^2}}}\] ta được
\[Q'(t) = - \frac{{\frac{r}{{20}}P(t)[20 - P(t)]}}{{{{[P(t)]}^2}}} = - \frac{r}{{20}} \cdot \frac{{20 - P(t)}}{{P(t)}} = - r\left( {\frac{{20 - P(t)}}{{20P(t)}}} \right)\]
\[ = - r\left( {\frac{{20}}{{20P(t)}} - \frac{{P(t)}}{{20P(t)}}} \right) = - r\left( {\frac{1}{{P(t)}} - \frac{1}{{20}}} \right)\].
Vì \(Q(t) = \frac{1}{{P(t)}} - \frac{1}{{20}}\), nên ta có:\(Q'(t) = - rQ(t)\).
c) Sai.
Ta có: \(\frac{{Q'(t)}}{{Q(t)}} = - r\)
Lấy nguyên hàm hai vế theo biến\(t\): \(\int {\frac{1}{{Q(t)}}} dQ = \int - rdt\) \( \Rightarrow \ln |Q(t)| = - rt + C\)
\( \Rightarrow Q(t) = {e^{ - rt + C}} = {e^C} \cdot {e^{ - rt}}\)
Đặt\(A = {e^C}\), ta có công thức: \(Q(t) = A \cdot {e^{ - rt}}\)
+ Tại \(t = 0\) :\(P(0) = 2 \Rightarrow Q(0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{20}} = \frac{9}{{20}}\).
Thay vào công thức:\(\frac{9}{{20}} = A \cdot {e^0} \Rightarrow A = \frac{9}{{20}}\) \( \Rightarrow Q(t) = \frac{9}{{20}}{e^{ - rt}}\).
+ Tại \(t = 2\):\(P(2) = 8 \Rightarrow Q(2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{{20}} = \frac{3}{{40}}\).
Thay vào: \(\frac{3}{{40}} = \frac{9}{{20}} \cdot {e^{ - 2r}}\).
\( \Rightarrow {e^{ - 2r}} = \frac{3}{{40}}:\frac{9}{{20}} = \frac{1}{6} \Rightarrow - 2r = \ln \left( {\frac{1}{6}} \right) = - \ln 6 \Rightarrow r = \frac{{\ln 6}}{2} \approx \frac{{1,79}}{2} \approx 0,896 < 1\).
d) Đúng.
Dựa vào kết quả ở trên ta tính được \(Q(4) = \frac{9}{{20}} \cdot {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{9}{{20}} \cdot \frac{1}{{36}} = \frac{1}{{80}}\).
Từ định nghĩa\(Q(t)\), ta có:
\(\frac{1}{{P(4)}} - \frac{1}{{20}} = \frac{1}{{80}} \Rightarrow \frac{1}{{P(4)}} = \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{20}} = \frac{5}{{80}} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow P(4) = 16\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: \(360\).
Gọi \(x,y\) (đơn vị: \(100{m^2}\)) lần lượt là diện tích trồng Dưa lưới và Cà chua bi.
Điều kiện: \(x,y \ge 0;x + y \le 7,5\).
Số ngày công chăm sóc: \(20x + 30y \le 180\).
Chi phí đầu tư: \(30x + 20y \le 210\) (triệu đồng).
Lợi nhuận dự kiến thu được là \(T\left( {x;y} \right) = 50x + 40y\) (triệu đồng)
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 7,5\\20x + 30y \le 180\\30x + 20y \le 210\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 7,5\\2x + 3y \le 18\\3x + 2y \le 21\end{array} \right.\quad \left( * \right)\).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\)
Miền nghiệm của hệ \(\left( * \right)\) là miền đa giác \(OABCD\) (phần tô đậm trong hình vẽ, kể cả các cạnh).
Toạ độ điểm \(A:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 3y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;6} \right)\)
Toạ độ điểm \(B:\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 18\\x + y = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{2}\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{9}{2};3} \right)\)
Toạ độ điểm \(C:\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 21\\x + y = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;\frac{3}{2}} \right)\)
Toạ độ điểm \(D:\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\3x + 2y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {7;0} \right)\)
Ta có
\(T\left( O \right) = 0\)
\(T\left( A \right) = 50.0 + 40.6 = 240\)
\(T\left( B \right) = 50.\frac{9}{2} + 40.3 = 345\)
\(T\left( C \right) = 50.6 + 40.\frac{3}{2} = 360\)
\(T\left( D \right) = 50.7 + 40.0 = 350\).
Vậy lợi nhuận lớn nhất là \(360\) triệu đồng.
Câu 2
Một hội nghị quốc tế có 12 đại biểu đến từ ba đoàn, đoàn Việt Nam có 5 người, đoàn Nhật Bản có 4 người và đoàn Hàn Quốc có 3 người, trong mỗi đoàn đều có 1 trưởng đoàn. Công ty tổ chức cần sắp xếp 12 đại biểu ngồi trên một hàng ghế dài có 12 chỗ ngồi, thỏa mãn các yêu cầu:
+ Các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau, tạo thành một nhóm liên tiếp.
+ Không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau.
Gọi \(N\) là tổng số cách sắp xếp thỏa mãn các yêu cầu trên, giá trị \(\frac{N}{{24}}\) bằng bao nhiêu?
Một hội nghị quốc tế có 12 đại biểu đến từ ba đoàn, đoàn Việt Nam có 5 người, đoàn Nhật Bản có 4 người và đoàn Hàn Quốc có 3 người, trong mỗi đoàn đều có 1 trưởng đoàn. Công ty tổ chức cần sắp xếp 12 đại biểu ngồi trên một hàng ghế dài có 12 chỗ ngồi, thỏa mãn các yêu cầu:
+ Các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau, tạo thành một nhóm liên tiếp.
+ Không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau.
Gọi \(N\) là tổng số cách sắp xếp thỏa mãn các yêu cầu trên, giá trị \(\frac{N}{{24}}\) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án:
Cách 1:
Trường hợp 1: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Việt Nam, Nhật Bản, Hàn Quốc
Khi đó, ta chọn vị trí ngồi cho các trưởng đoàn như sau:
1.1 Nếu TĐVN ngồi ở các vị trí từ \({A_1}\) đến \({A_4}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_1}\) đến \({B_3}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí từ \({C_1}\) đến \({C_3}\). Do đó có: \(4.3.3 = 36\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.
1.2 Nếu TĐVN ngồi ở các vị trí từ \({A_1}\) đến \({A_4}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_4}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí \({C_2}\), \({C_3}\). Do đó có: \(4.1.2 = 8\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.
1.3 Nếu TĐVN ngồi ở vị trí \({A_5}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_2},{B_3}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí từ \({C_1}\) đến \({C_3}\). Do đó có: \(1.2.3 = 6\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.
1.4 Nếu TĐVN ngồi ở vị trí \({A_5}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_4}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí \({C_2}\), \({C_3}\). Do đó có: \(1.1.2 = 2\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.
Vậy có \(36 + 8 + 6 + 2 = 52\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.
Trường hợp 2: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Việt Nam, Hàn Quốc, Nhật Bản
Lập luận tương tự, ta có \(4.2.4 + 4.1.3 + 1.1.4 + 1.1.3 = 51\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.
Trường hợp 3: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Nhật Bản, Việt Nam, Hàn Quốc
Lập luận tương tự, ta có \(3.4.3 + 3.1.2 + 1.3.3 + 1.1.2 = 53\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.
Trường hợp 4: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Nhật Bản, Hàn Quốc, Việt Nam
Lập luận tương tự, ta có \(3.2.5 + 3.1.4 + 1.1.5 + 1.1.4 = 51\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.
Trường hợp 5: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Hàn Quốc, Việt Nam, Nhật Bản
Lập luận tương tự, ta có \(2.4.4 + 2.1.3 + 1.3.4 + 1.1.3 = 53\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.
Trường hợp 6: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Hàn Quốc, Nhật Bản, Việt Nam
Lập luận tương tự, ta có \(2.3.5 + 2.1.4 + 1.2.5 + 1.1.4 = 52\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.
Tổng hợp tất cả trường hợp ta có: \(52 + 51 + 53 + 51 + 53 + 52 = 312\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.
Sau khi sắp xếp các trưởng đoàn, mỗi trường hợp có \(4!.3!.2! = 288\) cách sắp xếp những thành viên còn lại vào chỗ ngồi.
Như vậy có: \(312.288 = 89856\) cách sắp chỗ ngồi thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy \(\frac{N}{{24}} = \frac{{89856}}{{24}} = 3744\).
Cách 2:
Số cách xếp 12 đại biểu sao cho các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau là: \(3!.5!.4!.3! = 103680\)
Trong các cách xếp trên thì:
Số cách xếp hai trưởng đoàn Việt Nam và Nhật Bản ngồi cạnh nhau là: \(4.4!.3!.3! = 3456\)
Số cách xếp hai trưởng đoàn Việt Nam và Hàn Quốc ngồi cạnh nhau là: \(4.4!.2!.4! = 4608\)
Số cách xếp hai trưởng đoàn Hàn Quốc và Nhật Bản ngồi cạnh nhau là: \(4.5!.3!.2! = 5760\)
Suy ra số cách xếp sao cho không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau là:
\(N = 103680 - 3456 - 4608 - 5760 = 89856\)
Vậy \(\frac{N}{{24}} = \frac{{89856}}{{24}} = 3744\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập