PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

 Một xưởng gỗ sản xuất các thùng gỗ đựng rượu vang có hình dáng là một khối tròn xoay (như hình vẽ). Thùng có chiều cao \(10\,dm\). Hai mặt đáy phẳng song song và bằng nhau có đường kính \(6\,dm\). Thân thùng phình ra ở giữa, biết đường kính lớn nhất ở chính giữa thân thùng là \(8\,dm\). Đường cong bao quanh thân thùng có dạng là một phần của đường Parabol. Tính thể tích của thùng rượu này (đơn vị: \(d{m^3}\)), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

                                          

Đáp án: \(18,7\).

Thời gian tàu hàng đi hết quãng đường là: \(t = \frac{S}{v}\) (giờ).

Tổng lượng nhiên liệu tiêu hao là: \(f\left( v \right) = 650.\frac{S}{v} + 0,05{v^2}.S = S\left( {\frac{{650}}{v} + 0,05{v^2}} \right)\).

Vì \(S\) cố định nên để hàm số \(f\left( v \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( v \right) = \frac{{650}}{v} + 0,05{v^2}\).

Ta có \(g'\left( v \right) =  - \frac{{650}}{{{v^2}}} + 0,1v\), \(v > 0\)

\(g'(v) = 0 \Leftrightarrow 0,1v = \frac{{650}}{{{v^2}}} \Leftrightarrow {v^3} = 6500 \Leftrightarrow v = \sqrt[3]{{6500}} \approx \)\(18,7\left( {{\mkern 1mu} km\,/\,h} \right)\).

Cách 1:

Trường hợp 1: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Việt Nam, Nhật Bản, Hàn Quốc

Khi đó, ta chọn vị trí ngồi cho các trưởng đoàn như sau:

1.1 Nếu TĐVN ngồi ở các vị trí từ \({A_1}\) đến \({A_4}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_1}\) đến \({B_3}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí từ \({C_1}\) đến \({C_3}\). Do đó có: \(4.3.3 = 36\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.

1.2 Nếu TĐVN ngồi ở các vị trí từ \({A_1}\) đến \({A_4}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_4}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí \({C_2}\), \({C_3}\). Do đó có: \(4.1.2 = 8\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.

1.3 Nếu TĐVN ngồi ở vị trí \({A_5}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_2},{B_3}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí từ \({C_1}\) đến \({C_3}\). Do đó có: \(1.2.3 = 6\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.

1.4 Nếu TĐVN ngồi ở vị trí \({A_5}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_4}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí \({C_2}\), \({C_3}\). Do đó có: \(1.1.2 = 2\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.

Vậy có \(36 + 8 + 6 + 2 = 52\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 2: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Việt Nam, Hàn Quốc, Nhật Bản

Lập luận tương tự, ta có \(4.2.4 + 4.1.3 + 1.1.4 + 1.1.3 = 51\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 3: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Nhật Bản, Việt Nam, Hàn Quốc

Lập luận tương tự, ta có \(3.4.3 + 3.1.2 + 1.3.3 + 1.1.2 = 53\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 4: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Nhật Bản, Hàn Quốc, Việt Nam

Lập luận tương tự, ta có \(3.2.5 + 3.1.4 + 1.1.5 + 1.1.4 = 51\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 5: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Hàn Quốc, Việt Nam, Nhật Bản

Lập luận tương tự, ta có \(2.4.4 + 2.1.3 + 1.3.4 + 1.1.3 = 53\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 6: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Hàn Quốc, Nhật Bản, Việt Nam

Lập luận tương tự, ta có \(2.3.5 + 2.1.4 + 1.2.5 + 1.1.4 = 52\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Tổng hợp tất cả trường hợp ta có: \(52 + 51 + 53 + 51 + 53 + 52 = 312\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Sau khi sắp xếp các trưởng đoàn, mỗi trường hợp có \(4!.3!.2! = 288\) cách sắp xếp những thành viên còn lại vào chỗ ngồi.

Như vậy có: \(312.288 = 89856\) cách sắp chỗ ngồi thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy \(\frac{N}{{24}} = \frac{{89856}}{{24}} = 3744\).

Cách 2:

Số cách xếp 12 đại biểu sao cho các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau là: \(3!.5!.4!.3! = 103680\)

Trong các cách xếp trên thì:

Số cách xếp hai trưởng đoàn Việt Nam và Nhật Bản ngồi cạnh nhau là: \(4.4!.3!.3! = 3456\)

Số cách xếp hai trưởng đoàn Việt Nam và Hàn Quốc ngồi cạnh nhau là: \(4.4!.2!.4! = 4608\)

Số cách xếp hai trưởng đoàn Hàn Quốc và Nhật Bản ngồi cạnh nhau là: \(4.5!.3!.2! = 5760\)

Suy ra số cách xếp sao cho không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau là:

\(N = 103680 - 3456 - 4608 - 5760 = 89856\)

Vậy \(\frac{N}{{24}} = \frac{{89856}}{{24}} = 3744\).