Công ty vận tải biển X cần tính toán tốc độ di chuyển tối ưu cho một tàu hàng chạy trên tuyến đường biển dài \(S\left( {km} \right)\) để tiết kiệm nhiên liệu nhất. Theo thông số kỹ thuật, tổng lượng nhiên liệu tiêu hao của tàu bao gồm hai phần:

+ Phần tiêu hao cho hệ thống điện và sinh hoạt cố định theo thời gian: Tiêu thụ đều đặn 650 lít/giờ.

+ Phần tiêu hao cho động cơ đẩy (chi phí vận hành theo quãng đường): Do lực cản của nước, lượng nhiên liệu động cơ tiêu thụ trên mỗi \(km\) tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc của tàu. Cụ thể, hàm tiêu thụ là \(0,05{v^2}\) lít/km (với \(v\) là vận tốc của tàu, tính bằng \(km\,/\,h,\,v > 0\)).

Thuyền trưởng cần điều khiển tàu chạy với vận tốc \(v\) bằng bao nhiêu \(km\,/\,h\) để tổng lượng nhiên liệu tiêu hao trên toàn bộ chuyến đi là thấp nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án: \(360\).

Gọi \(x,y\) (đơn vị: \(100{m^2}\)) lần lượt là diện tích trồng Dưa lưới và Cà chua bi.

Điều kiện: \(x,y \ge 0;x + y \le 7,5\).

Số ngày công chăm sóc: \(20x + 30y \le 180\).

Chi phí đầu tư: \(30x + 20y \le 210\) (triệu đồng).

Lợi nhuận dự kiến thu được là \(T\left( {x;y} \right) = 50x + 40y\) (triệu đồng)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 7,5\\20x + 30y \le 180\\30x + 20y \le 210\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 7,5\\2x + 3y \le 18\\3x + 2y \le 21\end{array} \right.\quad \left( * \right)\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\)

Miền nghiệm của hệ \(\left( * \right)\) là miền đa giác \(OABCD\) (phần tô đậm trong hình vẽ, kể cả các cạnh).

Toạ độ điểm \(A:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 3y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;6} \right)\)

Toạ độ điểm \(B:\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 18\\x + y = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{2}\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{9}{2};3} \right)\)

Toạ độ điểm \(C:\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 21\\x + y = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;\frac{3}{2}} \right)\)

Toạ độ điểm \(D:\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\3x + 2y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {7;0} \right)\)

Ta có

\(T\left( O \right) = 0\)

\(T\left( A \right) = 50.0 + 40.6 = 240\)

\(T\left( B \right) = 50.\frac{9}{2} + 40.3 = 345\)

\(T\left( C \right) = 50.6 + 40.\frac{3}{2} = 360\)

\(T\left( D \right) = 50.7 + 40.0 = 350\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất là \(360\) triệu đồng.

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a) Từ hệ phương trình chuyển động của tên lửa A, ta có:

\(x = 300t \Rightarrow t = \frac{x}{{300}}\)

\(y = 400t \Rightarrow t = \frac{y}{{400}}\)

Suy ra: \(\frac{x}{{300}} = \frac{y}{{400}} \Leftrightarrow 400x = 300y \Leftrightarrow 4x - 3y = 0\).

Phương trình này đúng với mọi \(t\), chứng tỏ tên lửa A luôn nằm trong mặt phẳng \((P):4x - 3y = 0\).

b) Độ cao của tên lửa A được xác định bởi cao độ \(z(t) =  - 2{t^2} + 80t\).

Đây là một parabol bề lõm hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\(t =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{80}}{{2( - 2)}} = 20\) (giây).

Khi đó, độ cao cực đại là \(z(20) =  - 2{(20)^2} + 80(20) = 800\) (m).

c) Tại thời điểm \(t = 20\), tọa độ của tên lửa A là \(M(6000;8000;800)\).

Vị trí tên lửa B được phóng từ \(I(5600;6500;0)\).

Vectơ \(\overrightarrow {IM}  = (6000 - 5600;8000 - 6500;800 - 0) = (400;1500;800)\).

Hình chiếu của \(M\) xuống mặt đất \((Oxy)\) là \(M\prime (6000;8000;0)\).

Vectơ \(\overrightarrow {IM\prime }  = (400;1500;0)\).

Độ dài \(IM\prime  = \sqrt {{{400}^2} + {{1500}^2}}  = 100\sqrt {{4^2} + {{15}^2}}  = 100\sqrt {241}  \approx 1552,4\) (m).

Góc nâng \(\alpha \) thỏa mãn: \(\tan \alpha  = \frac{{MM\prime }}{{IM\prime }} = \frac{{800}}{{100\sqrt {241} }} = \frac{8}{{\sqrt {241} }} \approx 0,5153\).

\( \Rightarrow \alpha  \approx 27,26^\circ \).

Vì \(27,26^\circ  > 27^\circ \) nên mệnh đề nói "nhỏ hơn \(27^\circ \)" là Sai.

d) Khoảng cách từ điểm phóng \(I\) đến điểm va chạm \(M\) là:

\(IM = \sqrt {{{400}^2} + {{1500}^2} + {{800}^2}}  = \sqrt {160000 + 2250000 + 640000}  = \sqrt {3050000}  = 100\sqrt {305} \) (m).

Thời gian tên lửa B cần để bay từ \(I\) đến \(M\) với vận tốc \({v_B} = 200\) m/s là:

\({t_B} = \frac{{IM}}{{{v_B}}} = \frac{{100\sqrt {305} }}{{200}} = \frac{{\sqrt {305} }}{2} \approx 8,732\) (giây).

Để tên lửa B gặp tên lửa A đúng lúc \(t = 20\) giây, thời điểm cần khai hỏa tên lửa B là:

\({t_{kh}} = 20 - 8,732 = 11,268 \approx 11,3\) (giây).