Xưởng thiết kế nội thất đang phát triển một mẫu chậu cây cảnh bằng bê tông cốt sợi cao cấp. Lòng trong của chậu cây (phần chứa đất) có hình dáng là một khối chóp cụt lục giác đều.

Để đảm bảo tỷ lệ vàng trong thiết kế, các kỹ sư đã chốt các thông số kỹ thuật sau:

+ Phần đáy chậu (đáy nhỏ) là một lục giác đều có độ dài cạnh \[a = 30\;cm\].

+ Phần miệng chậu (đáy lớn) là một lục giác đều có độ dài cạnh \[b = 60\;cm\].

+ Góc phẳng nhị diện tạo mặt bên và đáy nhỏ của chậu đo được bằng \[\alpha  = 120^\circ \].

 

Thể tích không gian bên trong của chậu cây là bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: \(360\).

Gọi \(x,y\) (đơn vị: \(100{m^2}\)) lần lượt là diện tích trồng Dưa lưới và Cà chua bi.

Điều kiện: \(x,y \ge 0;x + y \le 7,5\).

Số ngày công chăm sóc: \(20x + 30y \le 180\).

Chi phí đầu tư: \(30x + 20y \le 210\) (triệu đồng).

Lợi nhuận dự kiến thu được là \(T\left( {x;y} \right) = 50x + 40y\) (triệu đồng)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 7,5\\20x + 30y \le 180\\30x + 20y \le 210\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 7,5\\2x + 3y \le 18\\3x + 2y \le 21\end{array} \right.\quad \left( * \right)\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\)

Miền nghiệm của hệ \(\left( * \right)\) là miền đa giác \(OABCD\) (phần tô đậm trong hình vẽ, kể cả các cạnh).

Toạ độ điểm \(A:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 3y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;6} \right)\)

Toạ độ điểm \(B:\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 18\\x + y = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{2}\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{9}{2};3} \right)\)

Toạ độ điểm \(C:\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 21\\x + y = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;\frac{3}{2}} \right)\)

Toạ độ điểm \(D:\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\3x + 2y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {7;0} \right)\)

Ta có

\(T\left( O \right) = 0\)

\(T\left( A \right) = 50.0 + 40.6 = 240\)

\(T\left( B \right) = 50.\frac{9}{2} + 40.3 = 345\)

\(T\left( C \right) = 50.6 + 40.\frac{3}{2} = 360\)

\(T\left( D \right) = 50.7 + 40.0 = 350\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất là \(360\) triệu đồng.

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a) Từ hệ phương trình chuyển động của tên lửa A, ta có:

\(x = 300t \Rightarrow t = \frac{x}{{300}}\)

\(y = 400t \Rightarrow t = \frac{y}{{400}}\)

Suy ra: \(\frac{x}{{300}} = \frac{y}{{400}} \Leftrightarrow 400x = 300y \Leftrightarrow 4x - 3y = 0\).

Phương trình này đúng với mọi \(t\), chứng tỏ tên lửa A luôn nằm trong mặt phẳng \((P):4x - 3y = 0\).

b) Độ cao của tên lửa A được xác định bởi cao độ \(z(t) =  - 2{t^2} + 80t\).

Đây là một parabol bề lõm hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\(t =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{80}}{{2( - 2)}} = 20\) (giây).

Khi đó, độ cao cực đại là \(z(20) =  - 2{(20)^2} + 80(20) = 800\) (m).

c) Tại thời điểm \(t = 20\), tọa độ của tên lửa A là \(M(6000;8000;800)\).

Vị trí tên lửa B được phóng từ \(I(5600;6500;0)\).

Vectơ \(\overrightarrow {IM}  = (6000 - 5600;8000 - 6500;800 - 0) = (400;1500;800)\).

Hình chiếu của \(M\) xuống mặt đất \((Oxy)\) là \(M\prime (6000;8000;0)\).

Vectơ \(\overrightarrow {IM\prime }  = (400;1500;0)\).

Độ dài \(IM\prime  = \sqrt {{{400}^2} + {{1500}^2}}  = 100\sqrt {{4^2} + {{15}^2}}  = 100\sqrt {241}  \approx 1552,4\) (m).

Góc nâng \(\alpha \) thỏa mãn: \(\tan \alpha  = \frac{{MM\prime }}{{IM\prime }} = \frac{{800}}{{100\sqrt {241} }} = \frac{8}{{\sqrt {241} }} \approx 0,5153\).

\( \Rightarrow \alpha  \approx 27,26^\circ \).

Vì \(27,26^\circ  > 27^\circ \) nên mệnh đề nói "nhỏ hơn \(27^\circ \)" là Sai.

d) Khoảng cách từ điểm phóng \(I\) đến điểm va chạm \(M\) là:

\(IM = \sqrt {{{400}^2} + {{1500}^2} + {{800}^2}}  = \sqrt {160000 + 2250000 + 640000}  = \sqrt {3050000}  = 100\sqrt {305} \) (m).

Thời gian tên lửa B cần để bay từ \(I\) đến \(M\) với vận tốc \({v_B} = 200\) m/s là:

\({t_B} = \frac{{IM}}{{{v_B}}} = \frac{{100\sqrt {305} }}{{200}} = \frac{{\sqrt {305} }}{2} \approx 8,732\) (giây).

Để tên lửa B gặp tên lửa A đúng lúc \(t = 20\) giây, thời điểm cần khai hỏa tên lửa B là:

\({t_{kh}} = 20 - 8,732 = 11,268 \approx 11,3\) (giây).