Xưởng thiết kế nội thất đang phát triển một mẫu chậu cây cảnh bằng bê tông cốt sợi cao cấp. Lòng trong của chậu cây (phần chứa đất) có hình dáng là một khối chóp cụt lục giác đều.

Để đảm bảo tỷ lệ vàng trong thiết kế, các kỹ sư đã chốt các thông số kỹ thuật sau:

+ Phần đáy chậu (đáy nhỏ) là một lục giác đều có độ dài cạnh \[a = 30\;cm\].

+ Phần miệng chậu (đáy lớn) là một lục giác đều có độ dài cạnh \[b = 60\;cm\].

+ Góc phẳng nhị diện tạo mặt bên và đáy nhỏ của chậu đo được bằng \[\alpha  = 120^\circ \].

 

Thể tích không gian bên trong của chậu cây là bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: \(268\).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi Parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua các điểm \(\left( { - 5;0} \right)\), \(\left( {5;0} \right)\), \(\left( {0;4} \right)\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 5} \right)^2}a - 5b + c = 0\\{5^2}a - 5b + c = 0\\c = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{{25}}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\).

Khi đó \(f\left( x \right) =  - \frac{4}{{25}}{x^2} + 4\).

Thể tích của thùng rượu là: \(V = \pi \int\limits_{ - 5}^5 {{f^2}\left( x \right)dx} \)\( = \pi \int\limits_{ - 5}^5 {{{\left( { - \frac{4}{{25}}{x^2} + 4} \right)}^2}dx = \frac{{256\pi }}{3} \approx 268} \) \(\left( {d{m^3}} \right)\).

Cách 1:

Trường hợp 1: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Việt Nam, Nhật Bản, Hàn Quốc

Khi đó, ta chọn vị trí ngồi cho các trưởng đoàn như sau:

1.1 Nếu TĐVN ngồi ở các vị trí từ \({A_1}\) đến \({A_4}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_1}\) đến \({B_3}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí từ \({C_1}\) đến \({C_3}\). Do đó có: \(4.3.3 = 36\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.

1.2 Nếu TĐVN ngồi ở các vị trí từ \({A_1}\) đến \({A_4}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_4}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí \({C_2}\), \({C_3}\). Do đó có: \(4.1.2 = 8\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.

1.3 Nếu TĐVN ngồi ở vị trí \({A_5}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_2},{B_3}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí từ \({C_1}\) đến \({C_3}\). Do đó có: \(1.2.3 = 6\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.

1.4 Nếu TĐVN ngồi ở vị trí \({A_5}\), TĐNB ngồi ở các vị trí \({B_4}\) thì TĐHQ có thể ngồi ở các vị trí \({C_2}\), \({C_3}\). Do đó có: \(1.1.2 = 2\) cách xếp chỗ cho các trưởng đoàn.

Vậy có \(36 + 8 + 6 + 2 = 52\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 2: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Việt Nam, Hàn Quốc, Nhật Bản

Lập luận tương tự, ta có \(4.2.4 + 4.1.3 + 1.1.4 + 1.1.3 = 51\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 3: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Nhật Bản, Việt Nam, Hàn Quốc

Lập luận tương tự, ta có \(3.4.3 + 3.1.2 + 1.3.3 + 1.1.2 = 53\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 4: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Nhật Bản, Hàn Quốc, Việt Nam

Lập luận tương tự, ta có \(3.2.5 + 3.1.4 + 1.1.5 + 1.1.4 = 51\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 5: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Hàn Quốc, Việt Nam, Nhật Bản

Lập luận tương tự, ta có \(2.4.4 + 2.1.3 + 1.3.4 + 1.1.3 = 53\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Trường hợp 6: Các đoàn ngồi theo thứ tự: Hàn Quốc, Nhật Bản, Việt Nam

Lập luận tương tự, ta có \(2.3.5 + 2.1.4 + 1.2.5 + 1.1.4 = 52\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Tổng hợp tất cả trường hợp ta có: \(52 + 51 + 53 + 51 + 53 + 52 = 312\) cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có 2 trưởng đoàn ngồi cạnh nhau.

Sau khi sắp xếp các trưởng đoàn, mỗi trường hợp có \(4!.3!.2! = 288\) cách sắp xếp những thành viên còn lại vào chỗ ngồi.

Như vậy có: \(312.288 = 89856\) cách sắp chỗ ngồi thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy \(\frac{N}{{24}} = \frac{{89856}}{{24}} = 3744\).

Cách 2:

Số cách xếp 12 đại biểu sao cho các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau là: \(3!.5!.4!.3! = 103680\)

Trong các cách xếp trên thì:

Số cách xếp hai trưởng đoàn Việt Nam và Nhật Bản ngồi cạnh nhau là: \(4.4!.3!.3! = 3456\)

Số cách xếp hai trưởng đoàn Việt Nam và Hàn Quốc ngồi cạnh nhau là: \(4.4!.2!.4! = 4608\)

Số cách xếp hai trưởng đoàn Hàn Quốc và Nhật Bản ngồi cạnh nhau là: \(4.5!.3!.2! = 5760\)

Suy ra số cách xếp sao cho không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau là:

\(N = 103680 - 3456 - 4608 - 5760 = 89856\)

Vậy \(\frac{N}{{24}} = \frac{{89856}}{{24}} = 3744\).