Một kỹ sư thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài \(5{\mkern 1mu} (m)\). Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\) (đơn vị là mét) ta được thiết diện là một hình parabol có chiều cao \(h(x) = 3 - \frac{2}{5}x\), độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ bên cạnh) và diện tích của thiết diện là \(S(x)\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 Thanh Hóa !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng. vì \(OA = h(0) = 3{\mkern 1mu} (m)\).
b) Đúng. Thể tích của đường hầm được tính theo công thức \(V = \int_0^5 S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\;({m^3})\).
c) Đúng vì \[\int h (x){\rm{d}}x = \int {\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right){\rm{d}}x} = 3x - \frac{2}{5}.\frac{{{x^2}}}{2} + C = 3x - \frac{{{x^2}}}{5} + C\].
d) Sai. Ta có \(S(x) = \frac{2}{3}h.2h = \frac{4}{3}{h^2} = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2} = \frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12\).
Thể tích của hầm là \(V = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12} \right)} {\rm{d}}x\; \approx 28,89({m^3})\).
Cách 2 ý d) Phương trình parabol là: \[y = a{x^2} + h\] qua điểm \[\left( {h\,;\,0} \right) \Rightarrow a = \frac{1}{h} \Rightarrow \left( P \right):y = \frac{1}{h}{x^2} + h\].
Diện tích parabol là: \[2\int\limits_0^h {\left( {\frac{1}{h}{x^2} + h} \right)} \,dx = \frac{4}{3}{h^2}\]
Suy ra \(S(x) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2} = \frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12\).
Thể tích của hầm là \(V = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12} \right)} {\rm{d}}x\; = \frac{{296}}{9} \approx 28,89({m^3})\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 2150
Doanh thu: \[R(x) = x \cdot p(x) = x(90 - 0,01{x^2}) = 90x - 0,01{x^3}.\]
Thuế giá trị gia tăng (10% doanh thu): \[T(x) = 0,1 \cdot R(x) = 0,1(90x - 0,01{x^3}) = 9x - 0,001{x^3}\]
Chi phí sản xuất: \[C(x) = \frac{1}{2}(200 + 27x) = 100 + 13,5x.\]
Lợi nhuận sau thuế bằng Doanh thu trừ đi Chi phí và Thuế:
\[\begin{array}{l}L(x) = R(x) - C(x) - T(x) = (90x - 0,01{x^3}) - (100 + 13,5x) - (9x - 0,001{x^3})\\ = - 0,009{x^3} + 67,5x - 100(0 \le x \le 90)\end{array}\]
\[L'(x) = - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50(N)\\x = - 50(L)\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}L(0) = - 100\\L(50) = - 0,009({50^3}) + 67,5(50) - 100 = - 1125 + 3375 - 100 = 2150\\L(90) = - 0,009({90^3}) + 67,5(90) - 100 = - 6561 + 6075 - 100 = - 586.\end{array}\]
Kết luận:
Mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là 2150 triệu đồng khi sản xuất và bán ra 50 tấn sản phẩm.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: \[0,57\].
Có \[{S_A}\left( t \right) = \int {{S_A}^\prime \left( t \right)dt = } \int {{v_A}\left( t \right)} dt = \int {5\sqrt t } dt = 5.\frac{2}{3}t\sqrt t + C\], do \[{S_A}\left( 0 \right) = 0\] nên \[{S_A}\left( t \right) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t \].
Có \[{S_A}\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow \frac{{10}}{3}t\sqrt t = 10 \Leftrightarrow t\sqrt t = 3 \Leftrightarrow t = {3^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{9} \approx 2,08\] (giờ)
Có \[{S_B}\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow t = 2\] (giờ) (do \[{S_B}^\prime \left( t \right) = 5 - 5\cos \left( {2\pi t} \right) \ge 0\] nên phương trình \[{S_B}\left( t \right) = 10\] có nghiệm duy nhất)
Suy ra Bình chạy nhanh hơn An, tức là Bình chạy được 10 km trước An.
Khi đó khoảng cách giữa hai người là \[{S_B}\left( 2 \right) - {S_A}\left( 2 \right) = 10 - \frac{{10}}{3}2\sqrt 2 \approx 0,57\] (km).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập