Một kỹ sư thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài \(5{\mkern 1mu} (m)\). Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\) (đơn vị là mét) ta được thiết diện là một hình parabol có chiều cao \(h(x) = 3 - \frac{2}{5}x\), độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ bên cạnh) và diện tích của thiết diện là \(S(x)\).  

Đáp án: 2150

Doanh thu: \[R(x) = x \cdot p(x) = x(90 - 0,01{x^2}) = 90x - 0,01{x^3}.\]

Thuế giá trị gia tăng (10% doanh thu): \[T(x) = 0,1 \cdot R(x) = 0,1(90x - 0,01{x^3}) = 9x - 0,001{x^3}\]

Chi phí sản xuất: \[C(x) = \frac{1}{2}(200 + 27x) = 100 + 13,5x.\]

Lợi nhuận sau thuế bằng Doanh thu trừ đi Chi phí và Thuế:

\[\begin{array}{l}L(x) = R(x) - C(x) - T(x) = (90x - 0,01{x^3}) - (100 + 13,5x) - (9x - 0,001{x^3})\\ =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100(0 \le x \le 90)\end{array}\]

\[L'(x) =  - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50(N)\\x =  - 50(L)\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}L(0) =  - 100\\L(50) =  - 0,009({50^3}) + 67,5(50) - 100 =  - 1125 + 3375 - 100 = 2150\\L(90) =  - 0,009({90^3}) + 67,5(90) - 100 =  - 6561 + 6075 - 100 =  - 586.\end{array}\]

Kết luận:

Mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là 2150 triệu đồng khi sản xuất và bán ra 50 tấn sản phẩm.

Đáp án: −30

Dễ thấy hàm số đồng biến (do tốc độ ban đầu \(P'(0) = 15 > 0\)), nên số lượng tế bào đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = 0\).

Do đó \(\alpha  = P(0) = 30\).

Mặt khác, tập giá trị của hàm số bị chặn trên bởi đường tiệm cận ngang khi \(t \to  + \infty \).

Ta có \(\beta  = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{a}{{b + {e^{ - 0,75t}}}} = \frac{a}{b}\).

Ta biến đổi đạo hàm \(P'(t)\) theo \(P(t)\) để tận dụng giả thiết tốc độ:

Từ hàm số ban đầu, ta suy ra \({e^{ - 0,75t}} = \frac{a}{{P(t)}} - b\).

Khi đó: \(P'(t) = \frac{{0,75.a.{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + {e^{ - 0,75t}})}^2}}} = \frac{{0,75.a.\left( {\frac{a}{{P(t)}} - b} \right)}}{{{{\left( {\frac{a}{{P(t)}}} \right)}^2}}} = 0,75.P(t).\frac{{a - b.P(t)}}{a} = 0,75.P(t).\left( {1 - \frac{b}{a}P(t)} \right)\)

Vì \(\beta  = \frac{a}{b}\), ta có mối liên hệ: \(P'(t) = 0,75.P(t).\left( {1 - \frac{{P(t)}}{\beta }} \right)\).

Thay các giá trị tại thời điểm ban đầu \(t = 0\) với \(P(0) = 30\) và \(P'(0) = 15\) vào hệ thức trên, ta được:

\(15 = 0,75.30.\left( {1 - \frac{{30}}{\beta }} \right) \Leftrightarrow 15 = 22,5.\left( {1 - \frac{{30}}{\beta }} \right) \Leftrightarrow 1 - \frac{{30}}{\beta } = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{30}}{\beta } = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \beta  = 90\).

Vậy \(2\alpha  - \beta  = 2.30 - 90 =  - 30\).