Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 90 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \[x\]tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \[p(x) = 90 - 0,01{x^2}\] (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất \[x\] tấn sản phẩm trong một tháng là \[C(x) = \frac{1}{2}(200 + 27x)\] (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là 10% tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Đáp án: 1,2

Gọi \(O\) là tâm hình vuông. Kẻ \(OK \bot SC\) tại điểm \(K\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\\AC \cap SA = \left\{ A \right\}\\AC,SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(SC \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(BD \bot SC\).

Mặt khác, ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right),\,\,OK \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OK\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot BD\\OK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = OK\).

Xét tam giác \(SAC\) và tam giác \(OKC\) có \(\widehat {SAC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \), chung \(\widehat {SCA}\)

 nên \(\frac{{SA}}{{OK}} = \frac{{SC}}{{OC}}\).

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = 2\sqrt 2 \). Khi đó \(OC = \frac{1}{2}AC = \sqrt 2 \).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) nên \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = 2\sqrt 6 \).

Do đó \(\frac{{SA}}{{OK}} = \frac{{SC}}{{OC}} \Rightarrow \frac{4}{{OK}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow OK = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {BD,SC} \right) = OK = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \approx 1,2\).

Đáp án: −30

Dễ thấy hàm số đồng biến (do tốc độ ban đầu \(P'(0) = 15 > 0\)), nên số lượng tế bào đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = 0\).

Do đó \(\alpha  = P(0) = 30\).

Mặt khác, tập giá trị của hàm số bị chặn trên bởi đường tiệm cận ngang khi \(t \to  + \infty \).

Ta có \(\beta  = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{a}{{b + {e^{ - 0,75t}}}} = \frac{a}{b}\).

Ta biến đổi đạo hàm \(P'(t)\) theo \(P(t)\) để tận dụng giả thiết tốc độ:

Từ hàm số ban đầu, ta suy ra \({e^{ - 0,75t}} = \frac{a}{{P(t)}} - b\).

Khi đó: \(P'(t) = \frac{{0,75.a.{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + {e^{ - 0,75t}})}^2}}} = \frac{{0,75.a.\left( {\frac{a}{{P(t)}} - b} \right)}}{{{{\left( {\frac{a}{{P(t)}}} \right)}^2}}} = 0,75.P(t).\frac{{a - b.P(t)}}{a} = 0,75.P(t).\left( {1 - \frac{b}{a}P(t)} \right)\)

Vì \(\beta  = \frac{a}{b}\), ta có mối liên hệ: \(P'(t) = 0,75.P(t).\left( {1 - \frac{{P(t)}}{\beta }} \right)\).

Thay các giá trị tại thời điểm ban đầu \(t = 0\) với \(P(0) = 30\) và \(P'(0) = 15\) vào hệ thức trên, ta được:

\(15 = 0,75.30.\left( {1 - \frac{{30}}{\beta }} \right) \Leftrightarrow 15 = 22,5.\left( {1 - \frac{{30}}{\beta }} \right) \Leftrightarrow 1 - \frac{{30}}{\beta } = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{30}}{\beta } = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \beta  = 90\).

Vậy \(2\alpha  - \beta  = 2.30 - 90 =  - 30\).