PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn An và Bình thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. An chạy với vận tốc \[{v_A}\left( t \right) = 5\sqrt t \quad \left( {km/h} \right)\], quãng đường Bình chạy được cho bởi phương trình \[{S_B}\left( t \right) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right)\quad \left( {km} \right)\] (với t là thời gian tính theo giờ). Cuộc đua kết thúc khi An hoặc Bình chạy được 10 km đầu tiên, khi đó khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Đúng. vì \(OA = h(0) = 3{\mkern 1mu} (m)\).

b) Đúng. Thể tích của đường hầm được tính theo công thức \(V = \int_0^5 S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\;({m^3})\).

c) Đúng vì \[\int h (x){\rm{d}}x = \int {\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right){\rm{d}}x}  = 3x - \frac{2}{5}.\frac{{{x^2}}}{2} + C = 3x - \frac{{{x^2}}}{5} + C\].

d) Sai. Ta có \(S(x) = \frac{2}{3}h.2h = \frac{4}{3}{h^2} = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2} = \frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12\).

Thể tích của hầm là \(V = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12} \right)} {\rm{d}}x\; \approx 28,89({m^3})\).

Cách 2 ý d) Phương trình parabol là: \[y = a{x^2} + h\] qua điểm \[\left( {h\,;\,0} \right) \Rightarrow a = \frac{1}{h} \Rightarrow \left( P \right):y = \frac{1}{h}{x^2} + h\].

Diện tích parabol là: \[2\int\limits_0^h {\left( {\frac{1}{h}{x^2} + h} \right)} \,dx = \frac{4}{3}{h^2}\]

Suy ra \(S(x) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2} = \frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12\).

Thể tích của hầm là \(V = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12} \right)} {\rm{d}}x\; = \frac{{296}}{9} \approx 28,89({m^3})\).

Đáp án: 2150

Doanh thu: \[R(x) = x \cdot p(x) = x(90 - 0,01{x^2}) = 90x - 0,01{x^3}.\]

Thuế giá trị gia tăng (10% doanh thu): \[T(x) = 0,1 \cdot R(x) = 0,1(90x - 0,01{x^3}) = 9x - 0,001{x^3}\]

Chi phí sản xuất: \[C(x) = \frac{1}{2}(200 + 27x) = 100 + 13,5x.\]

Lợi nhuận sau thuế bằng Doanh thu trừ đi Chi phí và Thuế:

\[\begin{array}{l}L(x) = R(x) - C(x) - T(x) = (90x - 0,01{x^3}) - (100 + 13,5x) - (9x - 0,001{x^3})\\ =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100(0 \le x \le 90)\end{array}\]

\[L'(x) =  - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50(N)\\x =  - 50(L)\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}L(0) =  - 100\\L(50) =  - 0,009({50^3}) + 67,5(50) - 100 =  - 1125 + 3375 - 100 = 2150\\L(90) =  - 0,009({90^3}) + 67,5(90) - 100 =  - 6561 + 6075 - 100 =  - 586.\end{array}\]

Kết luận:

Mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là 2150 triệu đồng khi sản xuất và bán ra 50 tấn sản phẩm.