Trong không gian \(Oxyz\), bề mặt trái đất có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) (\(1\) là đơn vị dài trong không gian \(Oxyz\) tương ứng với \(6371\)km trên thực tế); vị trí \(P\) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là \(\alpha ^\circ N,\beta ^\circ E\) \(\left( {0 < \alpha < 90,0 < \beta < 180} \right)\) có tọa độ \(P\left( {cos\alpha ^\circ \cos \beta ^\circ ;\cos \alpha ^\circ \sin \beta ^\circ ;\sin \alpha ^\circ } \right)\). Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt trái đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí \(P\) và \(Q\) trên bề mặt trái đất là độ dài cung nhỏ \(PQ\) của đường tròn có tâm \(O\) và đi qua hai điểm \(P,Q\). Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí \(21^\circ 02'N\), \(105^\circ 51'E\) và đảo Trường Sa ở vị trí \(8^\circ 39'N\), \(111^\circ 56'E\)(đơn vị:km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 2150

Doanh thu: \[R(x) = x \cdot p(x) = x(90 - 0,01{x^2}) = 90x - 0,01{x^3}.\]

Thuế giá trị gia tăng (10% doanh thu): \[T(x) = 0,1 \cdot R(x) = 0,1(90x - 0,01{x^3}) = 9x - 0,001{x^3}\]

Chi phí sản xuất: \[C(x) = \frac{1}{2}(200 + 27x) = 100 + 13,5x.\]

Lợi nhuận sau thuế bằng Doanh thu trừ đi Chi phí và Thuế:

\[\begin{array}{l}L(x) = R(x) - C(x) - T(x) = (90x - 0,01{x^3}) - (100 + 13,5x) - (9x - 0,001{x^3})\\ =  - 0,009{x^3} + 67,5x - 100(0 \le x \le 90)\end{array}\]

\[L'(x) =  - 0,027{x^2} + 67,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50(N)\\x =  - 50(L)\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}L(0) =  - 100\\L(50) =  - 0,009({50^3}) + 67,5(50) - 100 =  - 1125 + 3375 - 100 = 2150\\L(90) =  - 0,009({90^3}) + 67,5(90) - 100 =  - 6561 + 6075 - 100 =  - 586.\end{array}\]

Kết luận:

Mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là 2150 triệu đồng khi sản xuất và bán ra 50 tấn sản phẩm.

a) Đúng. vì \(OA = h(0) = 3{\mkern 1mu} (m)\).

b) Đúng. Thể tích của đường hầm được tính theo công thức \(V = \int_0^5 S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\;({m^3})\).

c) Đúng vì \[\int h (x){\rm{d}}x = \int {\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right){\rm{d}}x}  = 3x - \frac{2}{5}.\frac{{{x^2}}}{2} + C = 3x - \frac{{{x^2}}}{5} + C\].

d) Sai. Ta có \(S(x) = \frac{2}{3}h.2h = \frac{4}{3}{h^2} = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2} = \frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12\).

Thể tích của hầm là \(V = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12} \right)} {\rm{d}}x\; \approx 28,89({m^3})\).

Cách 2 ý d) Phương trình parabol là: \[y = a{x^2} + h\] qua điểm \[\left( {h\,;\,0} \right) \Rightarrow a = \frac{1}{h} \Rightarrow \left( P \right):y = \frac{1}{h}{x^2} + h\].

Diện tích parabol là: \[2\int\limits_0^h {\left( {\frac{1}{h}{x^2} + h} \right)} \,dx = \frac{4}{3}{h^2}\]

Suy ra \(S(x) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2} = \frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12\).

Thể tích của hầm là \(V = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12} \right)} {\rm{d}}x\; = \frac{{296}}{9} \approx 28,89({m^3})\).