Trong không gian \(Oxyz\), bề mặt trái đất có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) (\(1\) là đơn vị dài trong không gian \(Oxyz\) tương ứng với \(6371\)km trên thực tế); vị trí \(P\) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là \(\alpha ^\circ N,\beta ^\circ E\) \(\left( {0 < \alpha < 90,0 < \beta < 180} \right)\) có tọa độ \(P\left( {cos\alpha ^\circ \cos \beta ^\circ ;\cos \alpha ^\circ \sin \beta ^\circ ;\sin \alpha ^\circ } \right)\). Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt trái đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí \(P\) và \(Q\) trên bề mặt trái đất là độ dài cung nhỏ \(PQ\) của đường tròn có tâm \(O\) và đi qua hai điểm \(P,Q\). Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí \(21^\circ 02'N\), \(105^\circ 51'E\) và đảo Trường Sa ở vị trí \(8^\circ 39'N\), \(111^\circ 56'E\)(đơn vị:km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

a) Đúng. vì \(OA = h(0) = 3{\mkern 1mu} (m)\).

b) Đúng. Thể tích của đường hầm được tính theo công thức \(V = \int_0^5 S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x\;({m^3})\).

c) Đúng vì \[\int h (x){\rm{d}}x = \int {\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right){\rm{d}}x}  = 3x - \frac{2}{5}.\frac{{{x^2}}}{2} + C = 3x - \frac{{{x^2}}}{5} + C\].

d) Sai. Ta có \(S(x) = \frac{2}{3}h.2h = \frac{4}{3}{h^2} = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2} = \frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12\).

Thể tích của hầm là \(V = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12} \right)} {\rm{d}}x\; \approx 28,89({m^3})\).

Cách 2 ý d) Phương trình parabol là: \[y = a{x^2} + h\] qua điểm \[\left( {h\,;\,0} \right) \Rightarrow a = \frac{1}{h} \Rightarrow \left( P \right):y = \frac{1}{h}{x^2} + h\].

Diện tích parabol là: \[2\int\limits_0^h {\left( {\frac{1}{h}{x^2} + h} \right)} \,dx = \frac{4}{3}{h^2}\]

Suy ra \(S(x) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2} = \frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12\).

Thể tích của hầm là \(V = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{{16}}{{75}}{x^2} - \frac{{48}}{{15}}x + 12} \right)} {\rm{d}}x\; = \frac{{296}}{9} \approx 28,89({m^3})\).

Đáp án: \[0,57\].

Có \[{S_A}\left( t \right) = \int {{S_A}^\prime \left( t \right)dt = } \int {{v_A}\left( t \right)} dt = \int {5\sqrt t } dt = 5.\frac{2}{3}t\sqrt t  + C\], do \[{S_A}\left( 0 \right) = 0\] nên \[{S_A}\left( t \right) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t \].

Có \[{S_A}\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow \frac{{10}}{3}t\sqrt t  = 10 \Leftrightarrow t\sqrt t  = 3 \Leftrightarrow t = {3^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{9} \approx 2,08\] (giờ)

Có \[{S_B}\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow t = 2\] (giờ) (do \[{S_B}^\prime \left( t \right) = 5 - 5\cos \left( {2\pi t} \right) \ge 0\] nên phương trình \[{S_B}\left( t \right) = 10\] có nghiệm duy nhất)

Suy ra Bình chạy nhanh hơn An, tức là Bình chạy được 10 km trước An.

Khi đó khoảng cách giữa hai người là \[{S_B}\left( 2 \right) - {S_A}\left( 2 \right) = 10 - \frac{{10}}{3}2\sqrt 2  \approx 0,57\] (km).