PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

 Trong một kỳ thi bằng hình thức vấn đáp, ban tổ chức chuẩn bị một bộ câu hỏi gồm \(12\) câu hỏi khác nhau, mỗi câu được đựng trong một phong bì kín giống hệt nhau. Có ba thí sinh \(A,\,B\) và \(C\) cùng tham gia. Quy tắc chọn câu hỏi như sau: mỗi thí sinh lần lượt chọn ngẫu nhiên \(4\) phong bì từ bộ \(12\) câu hỏi đó để xác định phần thi của mình (sau khi mỗi thí sinh chọn xong, các câu hỏi được hoàn trả lại để thí sinh tiếp theo vẫn chọn từ bộ \(12\) câu ban đầu).

Biết rằng xác suất để xảy ra đồng thời hai điều kiện:

+ Điều kiện 1: Có ít nhất một câu hỏi mà cả ba thí sinh \(A,\,B,\,C\) đều chọn giống nhau.

+ Điều kiện 2: Tổng số câu hỏi khác nhau (bao gồm cả những câu ở Điều kiện 1) mà cả ba thí sinh đã chọn được là đúng \(9\) câu. được viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) (với \(a,\,b\) là các số nguyên dương). Tính giá trị của biểu thức \(S = a + b.\)

Đáp án: \[197\].        

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ, mỗi đơn vị là \(1\;mm\). Khi đó toạ độ các điểm là \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right),\;C\left( {0;20} \right)\).

Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(3\) điểm \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\64a + 8b + c = 4\\400a + 20b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - \frac{1}{{24}}\\b = \frac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;10} \right)\) và bán kính \(R = 10\), có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow y = 10 \pm \sqrt {100 - {x^2}} \)

Gọi \(S\) là diện tích của hình vuông \(OABC\),

\({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành, \(x = 0,\;x = 20\),

\({S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), nửa đường tròn \(y = 10 - \sqrt {100 - {x^2}} \), \(x = 0,\;x = 8.\)

\({S_3}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) và trục tung như hình vẽ,

Diện tích cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu là

\(S + {S_2} - {S_3} - {S_1}\)

\( = {20^2} + \int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x - \left( {10 - \sqrt {100 - {x^2}} } \right)} \right]} dx - \frac{1}{2}\pi {.10^2} - \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x} \right)dx \approx 197} \,m{m^2}\).

Đáp án: 1375.

Giả sử công ty sản xuất \[x\] sản phẩm (\[x > 1000,x \in \mathbb{N}\]).

- Doanh thu từ việc bán \[x\] sản phẩm được tính theo hai mức giá:

+Doanh thu từ 1000 sản phẩm đầu: \[1000 \times 650 = 650000\] (USD).

+Doanh thu từ sản phẩm thứ 1001 trở đi: \[\left( {x - 1000} \right) \times 450\] (USD).

- Tổng doanh thu: \[R\left( x \right) = 650000 + 450\left( {x - 1000} \right) = 450x + 200000\].

- Chi phí sản xuất: \[C\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000\,{\rm{(USD)}}.\]

- Thuế phụ thu \[t\] trên mỗi sản phẩm tính từ sản phẩm thứ 1001: \[T(x) = t\left( {x - 1000} \right)\].

- Tổng chi phí và thuế là:\[{C_{total}}\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)\].

- Lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi tổng chi phí:

\[\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right) - {C_{total}}\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {450x + 200000} \right) - \left[ {0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 0,1{x^2} + \left( {350 - t} \right)x + 180000 + 1000t\end{array}\]

Lợi nhuận đạt cực đại khi: \[x = \frac{{ - (350 - t)}}{{2( - 0,1)}} = \frac{{350 - t}}{{0,2}} = 1750 - 5t\].

Số tiền thuế cơ quan nhà nước thu được là: \[T(t) = t\left( {x - 1000} \right)\].

Thay \[x = 1750 - 5t\] vào biểu thức trên ta được:

\[T\left( t \right) = t\left( {1750 - 5t - 1000} \right) = t\left( {750 - 5t} \right) =  - 5{t^2} + 750t\].

Tiền thuế \[T\left( t \right)\]đạt giá trị lớn nhất khi: \[t = \frac{{ - 750}}{{2( - 5)}} = 75\] (USD/sản phẩm).

Khi mức thuế \[t = 75\] USD được áp dụng, để lợi nhuận của công ty lớn nhất thì số lượng sản phẩm cần sản xuất là: \[x = 1750 - 5.75 = 1750 - 375 = 1375{\rm{ }}\](sản phẩm)