PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

 Trong một kỳ thi bằng hình thức vấn đáp, ban tổ chức chuẩn bị một bộ câu hỏi gồm \(12\) câu hỏi khác nhau, mỗi câu được đựng trong một phong bì kín giống hệt nhau. Có ba thí sinh \(A,\,B\) và \(C\) cùng tham gia. Quy tắc chọn câu hỏi như sau: mỗi thí sinh lần lượt chọn ngẫu nhiên \(4\) phong bì từ bộ \(12\) câu hỏi đó để xác định phần thi của mình (sau khi mỗi thí sinh chọn xong, các câu hỏi được hoàn trả lại để thí sinh tiếp theo vẫn chọn từ bộ \(12\) câu ban đầu).

Biết rằng xác suất để xảy ra đồng thời hai điều kiện:

+ Điều kiện 1: Có ít nhất một câu hỏi mà cả ba thí sinh \(A,\,B,\,C\) đều chọn giống nhau.

+ Điều kiện 2: Tổng số câu hỏi khác nhau (bao gồm cả những câu ở Điều kiện 1) mà cả ba thí sinh đã chọn được là đúng \(9\) câu. được viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) (với \(a,\,b\) là các số nguyên dương). Tính giá trị của biểu thức \(S = a + b.\)

Đáp án: \[197\].        

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ, mỗi đơn vị là \(1\;mm\). Khi đó toạ độ các điểm là \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right),\;C\left( {0;20} \right)\).

Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(3\) điểm \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\64a + 8b + c = 4\\400a + 20b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - \frac{1}{{24}}\\b = \frac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;10} \right)\) và bán kính \(R = 10\), có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow y = 10 \pm \sqrt {100 - {x^2}} \)

Gọi \(S\) là diện tích của hình vuông \(OABC\),

\({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành, \(x = 0,\;x = 20\),

\({S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), nửa đường tròn \(y = 10 - \sqrt {100 - {x^2}} \), \(x = 0,\;x = 8.\)

\({S_3}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) và trục tung như hình vẽ,

Diện tích cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu là

\(S + {S_2} - {S_3} - {S_1}\)

\( = {20^2} + \int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x - \left( {10 - \sqrt {100 - {x^2}} } \right)} \right]} dx - \frac{1}{2}\pi {.10^2} - \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x} \right)dx \approx 197} \,m{m^2}\).

Đáp án: 2,6.

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(CD\), \(BC\).

Mà \(\Delta ACD\) và \(\Delta ABC\) là các tam giác đều nên \(AM \bot CD\) và \(AN \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

Khi đó, \(\left[ {S,CD,B} \right] = \left[ {S,CD,A} \right] = \widehat {SMA} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow AN = AM = SA \times \cot \widehat {SMA} = 3\sqrt 3  \times \cot 60^\circ  = 3\) (cm).

Ta có \[AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\]\( \Rightarrow d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Kẻ \(AH \bot SN\) (1)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot AH\] (2)

Từ (1), (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)

hay \(d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Lại có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \approx 2,6\) (cm).