Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), cạnh bên \(SA = 3\sqrt 3 \) cm và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Số đo góc nhị diện \(\left[ {S,CD,B} \right]\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SB\) là bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án: 5893.

Mỗi thí sinh chọn ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ bộ 12 câu (có hoàn lại sau mỗi lượt chọn của từng người).

Số cách chọn của mỗi thí sinh là \(C_{12}^4.\) Vì ba thí sinh chọn độc lập, tổng số trường hợp xảy ra là:

\(n\left( \Omega  \right) = {\left( {C_{12}^4} \right)^3} = {495^3}.\)

Gọi \({x_i}\) là số câu hỏi \(i\) bạn cùng chọn. Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} \ge 1\\{x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\\{x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 7\\{x_2} = {x_3} = 1\end{array} \right.\)

Tức là chọn 1 câu chung cho cả 3 người, 1 câu chung cho 2 người, và 7 câu chỉ có 1 người chọn.

Bước 1: Chọn các câu hỏi mục tiêu từ bộ 12 câu:

Chọn một câu cho \(3\) bạn \(\left( {{x_3} = 1} \right)\) có \(12\) cách.

Chọn 1 câu cho 2 bạn \(\left( {{x_2} = 1} \right)\)có \(11\) cách còn lại.

Chọn 7 câu cho 1 bạn \(\left( {{x_1} = 7} \right)\) có \(C_{10}^7\) cách còn lại

Bước 2: Phân bổ các câu hỏi vào từng thí sinh:

Số câu \(A\) cần thêm là \(2\)

Số câu \(B\) cần thêm là \(2\) \( \Rightarrow C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3\)

Số câu \(C\) cần thêm là \(3\)

Chọn \(2\) trong \(3\) bạn nhận câu \({x_2}\) có \(C_3^2\)

Xác suất \(P = \frac{{12.11.C_{10}^7.C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3.C_3^2}}{{{{\left( {C_{12}^4} \right)}^3}}} = \frac{{448}}{{5445}} = \frac{a}{b}.\)

Vậy \(a + b = 5893.\)

Chú thích: Đề đã bổ sung lời văn diễn đạt so với lời văn của đề gốc ở đoạn: “bao gồm cả những câu ở Điều kiện 1”.

Đáp án: \[197\].        

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ, mỗi đơn vị là \(1\;mm\). Khi đó toạ độ các điểm là \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right),\;C\left( {0;20} \right)\).

Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(3\) điểm \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\64a + 8b + c = 4\\400a + 20b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - \frac{1}{{24}}\\b = \frac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;10} \right)\) và bán kính \(R = 10\), có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow y = 10 \pm \sqrt {100 - {x^2}} \)

Gọi \(S\) là diện tích của hình vuông \(OABC\),

\({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành, \(x = 0,\;x = 20\),

\({S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), nửa đường tròn \(y = 10 - \sqrt {100 - {x^2}} \), \(x = 0,\;x = 8.\)

\({S_3}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) và trục tung như hình vẽ,

Diện tích cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu là

\(S + {S_2} - {S_3} - {S_1}\)

\( = {20^2} + \int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x - \left( {10 - \sqrt {100 - {x^2}} } \right)} \right]} dx - \frac{1}{2}\pi {.10^2} - \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x} \right)dx \approx 197} \,m{m^2}\).