Để chuẩn bị cho lễ kỷ niệm \(20\) năm ngày ra trường, ban tổ chức quyết định đặt hàng một đơn vị thủ công mỹ nghệ để chế tác các huy hiệu cài áo đặc biệt. Huy hiệu được thiết kế trên một phôi bạc hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(20\;mm\). Theo bản vẽ kĩ thuật từ các nghệ nhân, cấu trúc của huy hiệu được phân chia như sau: Lấy một điểm \(M\) được xác định bên trong phôi bạc sao cho khoảng cách từ \(M\) đến cạnh dưới \(OA\) là \(4\;mm\)và cách cạnh trái \(OC\)là \(8\;mm\), cạnh vòm là một cung tròn đi qua ba điểm \(O,\;M,\;C\), đường lượn là một phần của Parabol đi qua ba điểm \(O,\;M,\;A\). Phần tô đậm trong bản vẽ sẽ được phủ men sứ màu xanh lam. Các phần còn lại sẽ được giữ nguyên màu bạc để khắc tên trường và niên khoá. Hãy tính diện tích cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu. ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị \(m{m^2}\)).

Đáp án: 5893.

Mỗi thí sinh chọn ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ bộ 12 câu (có hoàn lại sau mỗi lượt chọn của từng người).

Số cách chọn của mỗi thí sinh là \(C_{12}^4.\) Vì ba thí sinh chọn độc lập, tổng số trường hợp xảy ra là:

\(n\left( \Omega  \right) = {\left( {C_{12}^4} \right)^3} = {495^3}.\)

Gọi \({x_i}\) là số câu hỏi \(i\) bạn cùng chọn. Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} \ge 1\\{x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\\{x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 7\\{x_2} = {x_3} = 1\end{array} \right.\)

Tức là chọn 1 câu chung cho cả 3 người, 1 câu chung cho 2 người, và 7 câu chỉ có 1 người chọn.

Bước 1: Chọn các câu hỏi mục tiêu từ bộ 12 câu:

Chọn một câu cho \(3\) bạn \(\left( {{x_3} = 1} \right)\) có \(12\) cách.

Chọn 1 câu cho 2 bạn \(\left( {{x_2} = 1} \right)\)có \(11\) cách còn lại.

Chọn 7 câu cho 1 bạn \(\left( {{x_1} = 7} \right)\) có \(C_{10}^7\) cách còn lại

Bước 2: Phân bổ các câu hỏi vào từng thí sinh:

Số câu \(A\) cần thêm là \(2\)

Số câu \(B\) cần thêm là \(2\) \( \Rightarrow C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3\)

Số câu \(C\) cần thêm là \(3\)

Chọn \(2\) trong \(3\) bạn nhận câu \({x_2}\) có \(C_3^2\)

Xác suất \(P = \frac{{12.11.C_{10}^7.C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3.C_3^2}}{{{{\left( {C_{12}^4} \right)}^3}}} = \frac{{448}}{{5445}} = \frac{a}{b}.\)

Vậy \(a + b = 5893.\)

Chú thích: Đề đã bổ sung lời văn diễn đạt so với lời văn của đề gốc ở đoạn: “bao gồm cả những câu ở Điều kiện 1”.

Đáp án: 2,6.

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(CD\), \(BC\).

Mà \(\Delta ACD\) và \(\Delta ABC\) là các tam giác đều nên \(AM \bot CD\) và \(AN \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

Khi đó, \(\left[ {S,CD,B} \right] = \left[ {S,CD,A} \right] = \widehat {SMA} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow AN = AM = SA \times \cot \widehat {SMA} = 3\sqrt 3  \times \cot 60^\circ  = 3\) (cm).

Ta có \[AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\]\( \Rightarrow d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Kẻ \(AH \bot SN\) (1)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot AH\] (2)

Từ (1), (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)

hay \(d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Lại có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \approx 2,6\) (cm).