Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát \(20\,000\) người về mối liên quan giữa việc tập thể dục thường xuyên và nguy cơ mắc bệnh tim mạch. Kết quả khảo sát của nhóm nghiên cứu được trình bày trong bảng dữ liệu thống kê sau đây:

 

Chọn ngẫu nhiên một người trong \(20\,000\) người được khảo sát.

a) Ta có \(A\left( {0;0;0,1} \right)\) và \({R_1} = 6\); \(B\left( {10;0;0,1} \right)\) và \({R_2} = 8\). Gọi \(O,\,B'\) lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {(z - 0,1)^2} = 36\). Vậy a – đúng.

b) Gọi \(H;\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung

Có tam giác \(ACB\) vuông vì\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\)

Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất \((Oxy)\), có tung độ dương nên tọa độ \(C(x;y;0)\) thuộc 2 mặt cầu \({x^2} + {y^2} = {6^2}\) và \({(x - 10)^2} + {y^2} = {8^2}\).

Giải hệ phương trình ta được \(x = 3,6\) và \(y = 4,8\). Vậy \(C(3,6;4,8;0)\).

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là \(\overrightarrow n (36;48; - 1)\)

Vậy phương trình đường thẳng AC là \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{{ - 1}}\). Vậy b – sai.

c) Ta có \(OC = 6km;\,CD = 60m = 0,06km\)\( \Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0,06 = 5,94\)

Có \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \times OD}}{{OC}} = 3,564\)

Có \(\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \times OD}}{{OC}} = 4,752\), vậy \(D\left( {3,564;\,4752;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow BD = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + {{(4,752)}^2} + 0,{1^2}}  = 8,00085 > 8\). Vậy c – đúng.

d) Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên \(BB'\)

\( \Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0,05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - 0,{{05}^2}}  = 2,999583304\)

Gọi G là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên mặt phẳng \(Oxy\)

\({F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}} \), nên \({F_2}D\) đạt lớn nhất khi \(DG\) lớn nhất, khi đó \(D,\,\,B',\,\,G\)thẳng hàng

\( \Rightarrow DG = DB' + B'G\) \( = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + 4,{{752}^2}}  + 2,999583304 \approx 10,9998083\).

\( \Rightarrow D{F_2} = \sqrt {0,{{05}^2} + D{G^2}}  = 10,99992194\)

Lại có \(D{F_1}\) lớn nhất khi \(D,\,\,A,\,\,{F_1}\) thẳng hàng\( \Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 6 + 5,94 = 11,94\)

Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 22,9392194 \approx 23\) km. Vậy d – sai.

Đáp án: 0,7

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

\(H \equiv O(0;0;0)\), tia \(HB\) trùng với tia \(Ox\), tia \(HA\prime \) trùng với tia \(Oz\), và trục \(Oy\) song song với \(AD\).

\(d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {AD,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\,\left( {A'BC} \right)} \right)\).

Kẻ \(HI \bot A'B\) suy ra \(d\left( {H,\left( {A'BC} \right)} \right) = HI\).

Theo giả thiết: \(d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{3}{4}\) hay \(2HI = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \)\(HI = \frac{3}{8}\).

\(\frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow H{A'^2} = \frac{9}{{28}} = {h^2}\).

Ta có: \(A\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(B\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(C\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\);\(D\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(A\prime \left( {0\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,h} \right)\).

Đường thẳng \(A\prime B\) đi qua \(B\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \overrightarrow {BA\prime }  = \left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,h} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \overrightarrow {AC}  = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 2\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)\).

Ta có: \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 2h\,;{\mkern 1mu} \,h\,;{\mkern 1mu}  - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)\).

Khoảng cách giữa \(A\prime B\) và \(AC\) là:

\[d\left( {A\prime B,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{| - 2h|}}{{\sqrt {4{h^2} + {h^2} + 1} }} = \frac{{2h}}{{\sqrt {5{h^2} + 1} }}\]

Thay \({h^2} = \frac{9}{{28}}\) vào ta được:

\(d = \sqrt {\frac{{4{h^2}}}{{5{h^2} + 1}}}  = \sqrt {\frac{{4 \cdot \frac{9}{{28}}}}{{5 \cdot \frac{9}{{28}} + 1}}}  = \sqrt {\frac{{\frac{9}{7}}}{{\frac{{45 + 28}}{{28}}}}}  = \sqrt {\frac{9}{{73}}}  = \frac{3}{{\sqrt {73} }} \approx 0,7\).