Trong kế hoạch thúc đẩy chuyển đổi số giáo dục năm \(2026\), một doanh nghiệp dự định nhập về hai dòng thiết bị trình chiếu hiện đại là: Máy chiếu Laser tương tác và Máy chiếu LED tiết kiệm điện. Để thực hiện đợt hàng này, doanh nghiệp dự kiến chi ra nguồn vốn ban đầu không vượt quá \(1,5\) tỷ đồng. Qua khảo sát thị trường, giá nhập vào mỗi chiếc Máy chiếu Laser tương tác là \(30\) triệu đồng, mang lại lợi nhuận dự kiến là \(5\) triệu đồng trên mỗi máy. Trong khi đó, mỗi chiếc Máy chiếu LED tiết kiệm điện có giá nhập \(15\) triệu đồng và lợi nhuận dự kiến là \(3\) triệu đồng mỗi máy. Dựa trên số liệu thống kê, tổng nhu cầu của hệ thống các trường học tại địa phương được dự báo sẽ không vượt quá \(80\) máy cho cả hai loại thiết bị trên. Giả sử doanh nghiệp cần nhập \(x\) máy chiếu Laser tương tác và \(y\) máy chiếu LED tiết kiệm điện để tối ưu hóa kế hoạnh kinh doanh sao cho tổng lợi nhuận thu được là lớn nhất. Khi đó giá trị biểu thức \(T = x + 2y\) bằng bao nhiêu?

a) Ta có \(A\left( {0;0;0,1} \right)\) và \({R_1} = 6\); \(B\left( {10;0;0,1} \right)\) và \({R_2} = 8\). Gọi \(O,\,B'\) lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {(z - 0,1)^2} = 36\). Vậy a – đúng.

b) Gọi \(H;\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung

Có tam giác \(ACB\) vuông vì\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\)

Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất \((Oxy)\), có tung độ dương nên tọa độ \(C(x;y;0)\) thuộc 2 mặt cầu \({x^2} + {y^2} = {6^2}\) và \({(x - 10)^2} + {y^2} = {8^2}\).

Giải hệ phương trình ta được \(x = 3,6\) và \(y = 4,8\). Vậy \(C(3,6;4,8;0)\).

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là \(\overrightarrow n (36;48; - 1)\)

Vậy phương trình đường thẳng AC là \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{{ - 1}}\). Vậy b – sai.

c) Ta có \(OC = 6km;\,CD = 60m = 0,06km\)\( \Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0,06 = 5,94\)

Có \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \times OD}}{{OC}} = 3,564\)

Có \(\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \times OD}}{{OC}} = 4,752\), vậy \(D\left( {3,564;\,4752;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow BD = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + {{(4,752)}^2} + 0,{1^2}}  = 8,00085 > 8\). Vậy c – đúng.

d) Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên \(BB'\)

\( \Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0,05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - 0,{{05}^2}}  = 2,999583304\)

Gọi G là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên mặt phẳng \(Oxy\)

\({F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}} \), nên \({F_2}D\) đạt lớn nhất khi \(DG\) lớn nhất, khi đó \(D,\,\,B',\,\,G\)thẳng hàng

\( \Rightarrow DG = DB' + B'G\) \( = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + 4,{{752}^2}}  + 2,999583304 \approx 10,9998083\).

\( \Rightarrow D{F_2} = \sqrt {0,{{05}^2} + D{G^2}}  = 10,99992194\)

Lại có \(D{F_1}\) lớn nhất khi \(D,\,\,A,\,\,{F_1}\) thẳng hàng\( \Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 6 + 5,94 = 11,94\)

Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 22,9392194 \approx 23\) km. Vậy d – sai.

Đáp án: 0,7

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

\(H \equiv O(0;0;0)\), tia \(HB\) trùng với tia \(Ox\), tia \(HA\prime \) trùng với tia \(Oz\), và trục \(Oy\) song song với \(AD\).

\(d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {AD,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\,\left( {A'BC} \right)} \right)\).

Kẻ \(HI \bot A'B\) suy ra \(d\left( {H,\left( {A'BC} \right)} \right) = HI\).

Theo giả thiết: \(d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{3}{4}\) hay \(2HI = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \)\(HI = \frac{3}{8}\).

\(\frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow H{A'^2} = \frac{9}{{28}} = {h^2}\).

Ta có: \(A\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(B\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(C\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\);\(D\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(A\prime \left( {0\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,h} \right)\).

Đường thẳng \(A\prime B\) đi qua \(B\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \overrightarrow {BA\prime }  = \left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,h} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \overrightarrow {AC}  = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 2\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)\).

Ta có: \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 2h\,;{\mkern 1mu} \,h\,;{\mkern 1mu}  - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)\).

Khoảng cách giữa \(A\prime B\) và \(AC\) là:

\[d\left( {A\prime B,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{| - 2h|}}{{\sqrt {4{h^2} + {h^2} + 1} }} = \frac{{2h}}{{\sqrt {5{h^2} + 1} }}\]

Thay \({h^2} = \frac{9}{{28}}\) vào ta được:

\(d = \sqrt {\frac{{4{h^2}}}{{5{h^2} + 1}}}  = \sqrt {\frac{{4 \cdot \frac{9}{{28}}}}{{5 \cdot \frac{9}{{28}} + 1}}}  = \sqrt {\frac{{\frac{9}{7}}}{{\frac{{45 + 28}}{{28}}}}}  = \sqrt {\frac{9}{{73}}}  = \frac{3}{{\sqrt {73} }} \approx 0,7\).